如解图，连接EF， ∵∠EFG＝∠ABM， ∴∠M＝∠EFG， ∵∠MGF＝∠FGE， ∴△MGF∽△FGE， FGEG∴MG＝FG， 又∵MG=MF， ∴FG2＝MF·EG；
第19题解图
(3)解 ：∵∠M＝∠ABM，cosM＝4，
5∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k， 如解图，连接OB， ∵∠FOD＝∠M，FD＝6， ∴FO＝8＝OB＝OA， ∴OH＝8－3k， ∴OH 2＋HB 2＝OB2， ∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，
48
解得k＝25或k=0（舍去）， ∵MD∥AB， ∴∠MFG＝∠BAF， ∴∠BGA＝∠BAG， ∴AB＝GB＝5k， ∴GH＝k， ∴AG＝10k， 48
∴AG＝2510.
20.如图①，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线; (2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；
19
(3)如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝4，tan∠BAD3
＝4，求⊙O的半径．
图① 图②
第20题图
（1）证明：如解图①，连接OD，
第20题解图①
∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAE， ∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE，
∴∠ODE＋∠AED＝180°， ∵∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，
∵OD∥AE，O是AB的中点， 1
∴ON∥AC，且ON＝2AC，
∴∠ONB＝90°，且ON＝3，OB=5，则BN＝4，ND＝2， ∴BD＝
42＋22＝25；
（3）解：如解图②，设FG与AD交于点H，
第20题解图②
5根据题意，设AB＝5x，AD＝4x，则AF＝4x，
H
5
4x255315AF
FH＝AF·tan∠BAD＝4x·4＝16x，AH＝cos∠BAD＝4＝16x，
52539
HD＝AD－AH＝4x－16x＝16x， 由（1）可知，∠HDG＋∠ODA＝90°， 在Rt△HFA中，∠FAH＋∠FHA＝90°， ∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG， ∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝GD，过点G作GM⊥HD，交HD于点M， ∴MH＝MD，
113939∴HM＝2HD＝2×16x＝32x，
∵∠FAH＋∠AHF＝90°，∠MHG＋∠HGM＝90°， ∴∠FAH＝∠HGM，
39
32x65HM
在Rt△HGM中，HG＝sin∠HGM＝3＝32x，
519
∵FH＋GH＝4， 156519∴16x＋32x＝4， 8
解得x＝5，
58
∴此⊙O的半径为2×5＝4.