(1)求证：DE⊥AC；
(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．
第10题图
（1）证明：如解图,连接OD，AD，
第10题解图
∵DE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴D为BC中点， 又∵O为AB中点， ∴OD∥AC，∴DE⊥AC； (2)解：∵AB=10，
∴OB=OD=5. 由(1)知OD∥AC， ∴△ODF∽△AEF，
ODOFBF?OB??∴， AEAFBF?AB设BF=x,
105x?5则有?8x?10解得x=3，
∴BF=
10. 311.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长； (3)求证：AF＋2DF＝AB.
第11题图
（1）证明：如解图，连接OC.
第11题解图
∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD， 又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD， ∴CO∥AD. 又CD⊥AD， ∴CD⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8， 根据勾股定理得：AE=10， ∵CO∥AD， ∴△EOC∽△EAD, ∴
EOOC?. EAAD设⊙O的半径为r，∴OE=10-r.
10-rr?， 10615∴r=，
45∴BE=10-2r=；
2∴
（3）证明：如解图，过点C作CG⊥AB于点G. ∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD， ∴CG=CD，
在Rt△AGC和Rt△ADC中， ∵CG=CD，AC=AC，
∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）， ∴AG=AD.
又∵∠BAC=∠CAD， ∴BC=CF，
在Rt△CGB和Rt△CDF中， ∵BC=FC，CG=CD，
∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL）， ∴GB=DF.
∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.
︵(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD的长； (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (3)求证：2CE2＝AB·EF.
第12题图
（1）解：如解图，连接OD，
第12题解图
∵∠BCD＝36°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°， ∵BC是⊙O的直径，BC＝10， ∴OB＝5， 72π×5︵
∴lBD＝180＝2π；
(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下： ∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°， 又∵点E是线段AC中点， 1
∴DE＝2AC＝EC， 在△DOE与△COE中， OD＝OC??
?OE＝OE， ??DE＝CE
∴△DOE≌△COE(SSS)． ∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE， ∴OE是线段CD的垂直平分线，