第2章 解线性方程组的直接解法
§0 引言
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2?
???ax?ax???ax?bn22nnnn?n11?a11?a21A??????an1a12a22?an2????a1n??a2n?,x?(x,x,?,x)T,b?(b?b)T
12n1n??ann??Ax?b
若A非奇异，即det(A)?0，方程组Ax?b有唯一解。由 Cramer法则，其解
xi?det(Ai)det(A),i?1,2,?,n
其中Ai为用b代替A中第i列所得的矩阵。当n大时，
n?1个行列式计算量相当大，实际计算不现实。
det(A)??i1i2?in(?1)?(i1,i2?in)ai11ai22?ainn
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§1 Gauss消去法
（I）Gauss消去法的例子
(E1)?x1?x2?x3?6?(E2)?12x1?3x2?3x3?15??18x?3x?x3??15(E3)12?（1）
(E2)?12?(E1),(E3)?(?18)?(E1)
(E1)?x1?x2?x3?6??15x2?9x3??57(E4) （2） ??21x2?17x3?93(E5)?方程组(E1)?(E3)与方程组(E1),(E4),(E5)同解
(E5)?21(1?15)(E4)得
??（3）???x1?x2?x3?6?15x2?9x3??57x3?3(E1)(E4) (E6)由（3）得x3?3,x2?2,x1?1
TT(x1,x2,x3)?(1,2,3)
?1?（3）的系数矩阵为0???01?1501???9，上三角 ?1??矩阵。
（II）Gauss消去法，矩阵三角分解
Ax?b
?????Ab???????
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a11a21an1a12a22?an2????a1na2nann????a1,n?1a2,n?1?an,n?1??? ????
令aij?aij,i?1,2,?,n;j?1,2,?,n,n?1
?A(1)b(1)???Ab? ????(1)第1次消去 a11?0, 令 li1?(1)ai1a(1)(1)11,i?2,3,?,n
作运算：(?li1E1?Ei)?(Ei) Ei表示第i个方程（第i行）
i?2,3?,n,
ai1?ai1?li1a11?0aij?aij?li1a1j,(1)?a11?(2)b????????(2)(1)(1)(2)(1)(1)i?2,3,?,n
j?2,3,?,n,n?1
a12?(1)??a1n(1)?A?(2)a22(2)a2nann(2)an2(2)?(2)a1,n?1??(2)a2,n?1? ???(2)an,n?1??(1) 如果令
?1??l?21???l31?????l?n1(2)101?0L1?1???? ??1??L1A?1(1)?A;?1(1)(1)(2)(2)L1?Ab???Ab? ????令
?1?0???????1?l32??ln21????? ??1??L2?1 24
li2?ai2a(2)(2)22,i?3,4,?,n.
a12(1)L2A?1(2)?A(3)(1)?a11????????a13(1)????a22(2)a23(2)(3)a33an3(n)?(1)a1n?(2)?a2n?(3)a3n? ??(3)?ann??1(2)(2)(3)(3)L2?Ab???Ab? ????进行k-1步后，得 A(1)?a11????(k)?b?????????(k)x?b???akk(k)k(
)a12(1)???a1n(1)a22(2)a2n?akn(2)?A?(k)(k)?ank(k)??ann(k)a1,n?1??(2)a2,n?1?????(k)ak,n?1????(k)an,n?1??(1)
Lk?1?1???????????1?lk?1,k??ln,k1????? ????1???1(k)(k)(k?1)(k?1)? Lk?Ab???Ab?????
?1(n?1)(n?1)???A(n)b(n)? Ln?1?Ab????(1)?a11???????a12(1)???a1n(1)a22(2)a2nann(2)(n)a1,n?1??(2)a2,n?1? ???(n)an,n?1??(1)(n)以上完成了消去过程，A非奇异?ann?0；倒着求解
xn,xn?1,?,x1这称为回代过程。消去过程和回代过程结合起
来称为（顺序）Gauss消去法，从消去过程可以得出。
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Ln?1Ln?2?L1A?1?1?1(1)?A(n)
其中A(n)是一个上三角阵。
A(1)?A?(Ln?1Ln?2?L1)?1?1?1?1A(n)
?L1?Ln?2Ln?1A?1????Lk???????(n)
????? ?????1lk?1,k1?ln,k?1记
?1?l?21?l31????????ln11l32?ln2?1?1ln,n?1????????1??L?L1L2?Ln?2Ln?1
此矩阵是对角线元素为1的下三角矩阵，称其为单位下三角 阵。
定义1.1 设
a11?i?a21ai1a12a22?ai2????A?(aij)n?n 令
a1ia2iaii,i?1,2,?,n
?1,?2,?,?n是1至n阶行列式，称为A的顺序主子式。
Gauss消去过程能进行下去的条件应为
aii?0,i?1,2,?,n?1，而此条件必在消去过程中才能知道。
(i)
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