j?1aij??lk?1ikljk?lijljj,i?j,i?j?1,?j?1
当 i?j时
ajj?j?1?lk?12jk?ljj
212ljj?[ajj??ljk]2
k?1j?1aij?lij??lk?1ikljki?j?1,j?2,?,n
ai1l11ljjl11?a11,j?1,li1?,i?2,3,?,n
由于求解过程中，需开方，因此称其为平方根法。 方程组求解
Ax?b
A?LLxTLLx?bT
Ly?b;（1）
Lx?yT
Ly?b
??y1????y???2????????lnn????yn????
?l11?ll2?21??????ln1ln22??b?1??b??2??? ????bn??l11y1?b1l21y1?l22y2?b2i?1y1?b1/l11y2?(b2?l21y1)/l22
yi?(bi??likyi)/lii,k?1Ti?1,2,?,n
（2） Lx?y
42
?l11??????l21l22???ln1??x1??y1??????ln2x2y?????2?????????????lnn????xn????yn??
l11x1?l21x2???ln1xn?y1l22x2???ln2xn?y2?lnnxn?yn
xn?yn/lnnxn?1?(yn?1?ln,n?1xn)/ln?1,n?1?n
xi?(yi?
?k?i?1lkixk)/lii,i?n,n?1,?,1例3.8 用Cholesky方法求解方程组
Ax?b
其中
?16?A?4???8解 A对称，
45?48???4?22??,??4???b?3
????10???1?16,?16?A?4???845?42?2?74，?3?5768??l11???4?l21??22????l310l22l320??l11??00??l33????0；
A对称正定
l21l220 ，
l31??l32 ?l33??16?l11
,l11?16?443
a21?4?l11?l21,l21?1,l31?a31l11?2
a22?l21?l22,a32?l21?l31?l22?l32,225?1?l22,l22?2 l32?12[?4?2]??3
12a33?l31?l32?l33;?4?L?1???2??;?3??222l33?(22?4?9)2?3
2?3Ax?bLLx?b
T LTx?y;L?y by?(?1,2,6);Tx?(?94,4,2)
T
§4 矩阵范数
（I）向量范数
定义 如果向量x?R（或Cn）的某个 实值函数N(x)n?x，满足条件：
n（1）x?0,?x?R;x?0充分必要条 件x?0
（2）?x??x,???R或??C
（3）x?y?x?y ，三角不等式则称N(x)是
nn，一般用x表 R上的一个向量范数（或C上的一个范数）
示。
44
常用的向量范数
1? 向量的?-范数
x??maxxi1?i?n
2? 向量的1-范数
nx1??i?1xi
3? 向量的2-范数
x?2?x 2ii?1nT3例 计算向量 x?(1?,2,3?)R的范数x?,x1,x2。
解
x??3,x1?6,x2?n14 定理 4.1 A?Rn?n，非奇异，令 x?Ax，那么??为R上一个范数，
AAn为R上的一个范数
证 满足条件
1? 任 x?R,nxA?Ax?0；
xA?0?Ax?0?Ax?0?x?0
（A非奇异）
2? 对任??R
A?xA?A(?x)??Ax???Ax???xn
3? x,y?R x?yA?A(x?y)?Ax?Ay?Ax?Ay?xA?yA
??为R上的一个范数 An定理4.2 设x为Rn上的一个向量范数，那么x是x 的分量x1,x2,?,xn的连续函数。
定义4.3 设??,??为Rn上两个向量范数，若存在
0?m?M使得对任x?Rn有
45
mx??x??Mx?
那么称??,??是等价的。可以证明 ?x??nxnxxx?2?
2?x12
x??x1?nx?
（II）矩阵范数
定义4.4 设 ?是Rn?n上实值函数，对任?A?Rn?n有
唯一的数A相对应，如果?满足条件
（1）
A?0,A?0?A?O
n?n（2）?A（3）（4）
???A,??RorC,A?Rn?n
A?B?A?B,A,B?RAB?A?BA,B?R
n?n那么称?为Rn?n上矩阵范数
定理4.5 设?是Rn上的向量范数，那么
maxx?0nx?RAxx?maxAx,?A?Rx?1x?Rnn?n
定义了Rn?n上的一种矩阵范数，记为A。
证明。D??xx?Rn,x?1?是Rn中有界闭集。而向量范数?又是Rn上的连续函数。所以存在向量x*?D使得Ax*?maxAx，所以定义是有意义的。
x?D下面对任取A,B?Rnxn，证明满足矩阵范数的四条。
(1)设A?O，不妨设A的第i列非零，即Aei?O此外，对于x?Rn,x?O
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