AA的特征多项式
TP(?)???10?10?10??20???30??100
2?1?15?55,?2?15?55 T?(AA)?max?i?15?55 1,2A2?15?55 Jordan标准形
设??C，矩阵
????Jr(?)??????1?????1?????1??
r?r称为属于特征值?的Jordan块(r阶)。由若干个Jordan块
Jri(?i),i?1,2,?,m，所构成的分块对角阵
J?diag[Jr1(?1),Jr2(?2),?,Jrm(?m)]
?Jr1(?1)?? ?????Jr2(?2)????? ?Jrm(?m)??称为一个Jordan形矩阵
定理4.11 复数域上每一个矩阵都相似于一个Jordan形
矩阵，这个Jordan形矩阵除了其中Jordan块的排列次序外 是由原矩阵唯一确定的，称这个Jordan形矩阵为原矩阵的 Jordan标准形。 定义4.12 A,B?RUn?n，如果存在可逆矩阵U?Rn?n使得
?1AU?B
n?n则称A与B是相似的 (R
可改成Cn?n)。
52
定理4.13 对任A?Rn?n，实数??0，那么至少存在一 种算子范数?（从属范数）使得
A??(A)??
证明 对任 A?Rn?n ，存在非奇异阵 S?Rn?n 使
J?S?1AS
J为A的Jordan标准形。J?diag[J1,J2,?,Jm]
??1??Ji??????1???? ?1??i???i1??对于给定 ??0，定义对角矩阵D?
D??diag[1,?,?,?,?D??diag[1,??1?12n?1]
?(n?1),??2,?,?]
??D?1JD?diag[J?,J?,?,J?] 令 J??12m??i???其中 Ji???????的?范数 取J??i??????? ????i???J??D?JD?n?1??D?S?1?1ASD???(SD?)ASD??1?
?J??ij?max(?i??)?max?i????(A)?? ?max?a1?i?nj?11?i?n1?i?n注意到
53
??1???????J?????????1??1?????2??2????????? ???????m??SD?是非奇异阵。引入新的向量范数（定理4.1）
x?(SD?)x?1?
由定理4.1 ， x为向量范数。令 Q?SD?。
x?Qx?1?
对于引入的范数，令 A?maxAx
x?1A?maxAx?maxx?1Q?1Q?1Ax?1x??1??maxQy??1?1AQy?
?max(SD?)ASD?yy??1?1??(SD?)ASD????(A)??。
矩阵范数还具有如下性质：
1? A?Rn?n,A是A的元素aij的连续函数
n?n2? （等价性）对于R上任两范数??,??，
存在常数0?m?M使得
mA??A??MA?
对于常用矩阵范数有
1n1nA?A?nA?2?
A1?A2?nA1
54
定理4.14 设 ?是Rn?n上的算子范数，矩阵B?Rn?n 满足B?1，那么I?B非奇异，并且
?1(I?B)?11?B
证 用反证法。设I+B为奇异阵，那么存在
x?R,x?0使得(I?B)x?0。 Bx??x;??1为B
n的一个特征值。从而有?(B)?1，并
?(B)?B?B?1，矛盾于定理条件，所以I+B非奇异。
令 D?(I?B)?1
1?I?(I?B)D?D?BD
?D?BD?D?B?D?D(1?B)
?1?D?(I?B)?11?B
§5 误差分析
（I）引言
1??x1??4??3??????? ?3.00011??x2??4.0001?准确解 x?(1,1)
若A，b作微小的扰动
?3??2.9999**T1??x1??4??????? 1??x2??4.0002?T准确解 x?(?2,10 )A， b的微小扰动 ?b1?0.0001;?a21?0.0002。引起 B， 了解的很大变化，其原因？
55
（II）条件数
定义5.1 设A?Rn?n为可逆矩阵，?为一种矩阵的算 子范数。
Cond(A)?A?A?1
称为A的条件数 如果矩阵范数取为?，那么记Cond(A)2?A2?2?A?12
同样地，Cond(A)??A Cond(A)1?A1?A?11?A?1? ，
逆矩阵
n?n定义5.2 A?(aij)n?n?R，划去A的(i,j)元aij
所在的第i行，第j列，剩下的(n?1)2个元素按原来排法组 成的n-1级矩阵的行列式称为A的(i,j)元的余子式，记为
Mij。令
Aij?(?1)i?jMij
称Aij是矩阵A的(i,j)元的代数余子式
定义5.3 设A?(aij)n?n是n级方阵，用Aij表示A的
(i,j)元的代数余子式，矩阵
?A11?A?12????A1nA21A22?A2n???An1??An2? ??Ann??称为A的伴随矩阵。记为A*
A?1?1AA
?
56