定理 设A为非奇异阵，那么存在排列阵P，单位下三角阵L和上三角阵U，使得
PA=LU 证，由列主元Gauss消去法U?A(n)的表达式可以得出
A?I1,i1L1I2,i2L?1?12?In?1,in?1Ln?1U
?1令排列阵P?In?1iIn?2,in?1n?2?I1,i1,，那么有
?112i2PA?In?1in?1In?2in?2?I2i2Ln?1in?1??I?II,?In?2,in?2,In?1,in?1??,,?I2i3L2I3,i3?In?1,in?1?Ln?2In?1,in?1Ln?1U?1?1?
n?1in?1??1上面使用了对换阵性质Ik,iIki?I
kk??I,?ILkn?1in?1k?令 注意到
?1???????????1?L?Ln?1n?11ik?LIk?,1ik??In?,i1n?1k1
?11k?1,2,?n?2?1lk?1,k?ln,k?L?1k????? ???1??它与Lk差别仅在第k列的对角线以下的元素加一个负号。
例
I3,41 L?3
?1?? ?????101????1?0?1??1??1?????????????1?1??1????????10???1 ?
?10?1??1?换行
32
I3,4L3 I3,4?1?????????1??????????1??????1???????????1???????? ??1???11010101101101?1?0?1??L??L?，那?是单位下三角阵，令L?LI3,4L3I3,4仍是单位下三角阵。同样Lk1kn?1么L仍是单位下三角阵，从而得出
PA=LU
3 直接三角分解方法 （I）Doolittle分解法 A?Rn?n,?i?0,A?LUi?1,2,?,n?1
根据A的元素aij来确定L.U中的元素
?a11?a?21A?????a?n1a12a22??an2???a1n??1??la2n??21?????????ann???ln11?1ln2ln,n?1???? ??1???u11???????u12u22???u1n??u2n????unn??
L，U的元素可由n步直接计算定出，其中第k步定出U的
第k行，L的第k列。
第1步 a1j?u1j,j?1,2,?,n，得出U的第1行 元素。
33
ak1?lk1u11,lk1?ak1u11k?2,3,?,n
得出L的第1列的元素。 第k步：
假定已定出U的第1行到第k-1行的元素与L的第1列 到第k-1列的元素。利用矩阵乘法有
nk?1krakj??lr?1urj??lr?1krurj?ukj(j?k)
计算U的第k行
k?1?ukj?akj??lkrurj,r?1j?k,k?1,?,n. （1）
对于 i?k
k?1aik??lr?1irurk?likukk,i?k?1,?,n
计算L的第k列
k?1aik??lirurklik?r?1ukk,i?k?1,?,n （2）
由第1步，第2步，?，第n-1步就完成A=LU， 解方程组 Ax=b , LUX=b 分两步
1? Ly=b y=Lb
-1
其实，L为单位下三角阵，
逐次向前代入
-1
2? Ux=y x=Uy 其实，U为上三角阵，逐次向后 回代
定理3.1A?Rn?n非奇异,?1,?2,?,?n?1?0， 那么Ax=b可用直接分解方法来求解。
例3.2求矩阵
?2?A?4????22743??7 ?5?? 的LU分解
?2? 解 4????22743??1??7?l21??5????l3101l320??u11??0??1????u12u22u13??u23 ?u33?? 34
① 先求出U的第1行
u11?a11?2;u12?a12?2;u13?a13?3
② 求出L的第1列：
a21?4?l21u11?l21?2
a31??2?l31u11?l31??1
③ U的第2行
a22?7?l21u12?u22;u22?7?2?2?3 a23?7?l21u13?u23;u23?7?2?3?1
④ L的第2列
a32?4?l31?u12?l32?u22;l32?2
⑤ U的第3行
a33?5?l31?u13?l32u23?u33;?1?A?2????1
u33?6
0120??0?1???2?0???02303??1 ?6??定理3.3 非奇异阵A?Rn?n，若其顺序主子式
?i,i?1,2,?,n?1皆非零，则存在唯一的单位下三角阵L
和上三角阵U，使得
A=LU
同样地有A有唯一的分解，A=LDU；A非奇异条件不加， 定理还真，L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三 角阵。
A?LU?u11?U??????u12u22???u1n??u2n?? ?unn?? 35
?u11?U??????u22??????unn????1???????????u12u111u13u11u23u221???u1n?u11??u2n??u22??????1??
?,U?单位上三角阵A=LU（L单位下三角阵，U上 ?DU三角阵），此分解称为Doolittle分解。如果把
A=LDU?（LD）U=LU（L下三角阵，U单位上三角阵）， 此分解称crout分解
（II）直接三角分解法解线性代数方程组
Ax?b
A非奇异，?1,?,?n?1?0令 Ux?y;Ly?A?LU
b?
求解 Ax?b等价于求解 Ly?b;Ux?y
?1?l21?Ly?????ln1
1?ln2???????1???y1??b1?????yb?2???2??????? ??????yn????bn??y1?b1;l21y1?y2?b2?y2?b2?l21y1
?
ln1y1?ln2y2???yn?bn;yn?bn?[ln1y1?ln2y2???ln,n?1yn?1]
?u11?Ux??????u12u22???u1n??u2n???unn???x1???x?2????????xn????y1???y?2? ??????yn???xn?yn/unn;xn?1?(yn?1?un?1,n?1xn)/un?1,n?1
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k?2 36