例5.4 A??11.000122?1?1.00012?? 求 Cond(A)? 2?解 ??0.0002
解 A?12?2???1000010?000???????
?1.0001?1?5000?.5?5000?0.000?21?1?AA?20000 ?3.0001
?Cond(A)??60002
?1000?999999??，求Cond(A)1,998?????例5.5 A??Cond(A)?
解 A?1?91?998?99?????1??999100?0998999?999?
1000? A A??1?A1?1999；
?11??A?1999
A??1 Con(d)A??A?(1999)?62 3.9?96610d)A?3.99?6 Con(110
定义5.6 设 A?Rn?n，如果A的条件数是一个大数，那么 称A是坏条件的或称A为病态的。
条件数性质
1? Cond(A)?1
d)A? Con(Con(d )A?1Cond(?A)?Cond(A),??R,??0
证： Cond(A)?A?A?1?AA?1?I?1 Cond(?A)??A?(?A)?1???A???1?A?1
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2? 若A为正交阵 (ATA?I)，那么Cond(A)2?1 证： ATA?I,AAA?1T?A
2?1??(AA)??AT2T?(I)?1 ?(AA)?T2??(I)?1
Cond(A)2?A2?A?12?1
3? 设U为正交阵，那么有
Cond(A)2?Cond(AU)2?Cond(UA)2
证：
Cond(AU)2?AU2?(AU)?12??((AU)AU)T?(([AU])[AU])
?1T?1 ?TTT?(UAAU)?[(A)A]
TT?1T?1AA~UAAU 它们特征值相同，所以有
Cond(AU)2??(AA)T?[(A)A]?A?1T?12?A?12?Cond(A)2
4? 设?1,?n分别为A的按模最大与最小的特征值，那么
Cond(A)??1?n
特别，A对称，那么有 Cond(A)2? 证 Cond(A)?A?A?1
A??(A)??1 A?1?1?n
??(A)??11?n
?1注意 ?为A的特征值 ??为A?1的特征值
A对称时
Cond(A)2?A2?A?12??(AA)T?[(A)A?1T?1 A ??(A)??(?1?)?1?n
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（III）扰动方程组解的误差估计
Ax?b
如果A?Rn?n有一个扰动?A?Rn?n，b?Rn有一个扰 动?b?Rn，那么方程组的解必扰动?x?Rn，即有 (A??A)(x??x)?b?? b分析 ?A,?b对x的影响，即?x的大小。
定义5.7 如果 ?A,?b很小，而?x很大，那么称
Ax?b是病态方程组。反之，如果?A,?b很小，?x
也很小，那么称Ax?b是良态方程组。
定理5.8 设A?Rn?n非奇异， Ax?b，b?0；
A(x??x)?b??b
??xx?Cond(A)?bb
（常数向量b的扰动引起解的扰动的一种估计） 证： Ax?b ， A(x??x)?b??b
?A?x??b,?x?A?b,?1?x?A?b?A?1?1??b
,对于 Ax?bb?1xAx?1bA? x ?A
??xx?A?1?A?bb?Cond(A)?bb
?1000例5.9 ??999999??x1??1999??x1??1??,其解 ????? ?????998??x2??1997??x2??1?T2?1R) 假定b有扰动。 ?b?(?0.01,0.0解 ?1000 ??999
999??x1??x1??b1??b1??1998.99??????????
998??x2??x2??b2??b2??1997.01?59
?A?x??b 解之 ?x??7?20.9??
?18.9??9?19.97??
??19.9?9 x?x??x??可以看出，?x??19.99是很大的。方程组是病态的。
6Cond(A)??3.996?10，矩阵A病态。
定理5.10 如果A?Rn?n 非奇异，并且
?AA?1Cond(A)，
Ax?b,(A??A)(x??x)?b，那么有
?xxCond(A)??AA1?Cond(A)?AA
定理5.11 如果A?Rn?n 非奇异，并且
?AA?1Cond(A)，
Ax?b,(A??A)(x??x)?(b??b)，那么有
?xxCond(A)[??AA??bbA]1?Cond(A)??A
（IV）事后估计
定理5.12 设 Ax?b,b?0，那么实际求得方程组的解
?有如下估计： x 60
~~1Cond(A)b?Axb??x?xx?Cond(A)b?Axb
证：先证右边不等式。由于 Ax?b，所以有
??Ax?Ax??A(x?x?) b?Ax??A?1(b?Ax?) x?x x??x?此外， b?Ax 有
A?1?b??A xb?A?x 1x?x?xxAb?
??A?1?A?b?Axb?Cond(A)?b?Axb
??A(x?x?)， 再证左边不等式。 由 b?Ax b?A?x?A?? x， x?b?A?xA?? x?x
再利用 x?A?1b x??x?xx1A?1A?1?b
??b?Ax?Ab?1Cond(A)?b?Axb
推论 若A是对称矩阵，那么有
??xxx22???1b?Ax2?nb
2其中?1,?n分别为A的绝对值最大和最小的特征值。
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例5.13 设A?Rn?n对称非奇异。Ax?b。如果A有误 差?A，解向量x有误差?x，并满足 (A??A)(x??x)?b，那么有
?x22x??x??1?A?nA22
其中?1,?n分别是A的绝对值最大和最小的特征值
证： 由 (A??A)(x 得 ??x?) b A(x??x)??A(x??x)? b利用 Ax?b 有
A?x???A(x??x)
?x??A?A(x??x)
?1?x2?A?A?12?12?x??x22
2 ?A??A?12?x??x?
?xx??x2?A?A?AA222
??1?A?n?22A1
由 A对称，A2??1,A?12?n
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