Axx?Axx?A
?Ax?A?x （经常用到）
O?Aei?A?ei ?A?o
(2)任取??R有
?A?max?Ax??maxAx???A
x?1x?1(3)设x满足x?1，使得(A?B)x?A?B
(A?B)??A?B?x?Ax?Bx?A?x?B?x?A?B
(4)设x?Rn，满足x?1使得ABx?AB
AB?ABx?A?Bx?A?B?x?A?B
定义4.6
对于Rn上的任一种向量范数?，由
定理4.5确定的矩阵范数称为从属于向量范数?的矩阵范数 ，即称从属范数，也称算子范数。
由定理可以得出
Ax?A?x
满足此条件，称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。
设A?Rn?n，如果对于R（或C）中一个数?，存在
R(或C)中非零向量x使得
Ax??x
nn那么?称为矩阵A的特征值，x称为A的属于特征值?的
一个特征向量。
?I?A 称为A的特征多项式。 ?为A特征值 ? ?为特征多项式的根。
A?R
n?n,?i(i?1,2,?,n)为其特征值，令
47
xi ?(A)?ma?1?i?n称为A的谱半径。
定理4.7 A?Rn?n??(A)?A
证：设?为A的任一特征值，x为相应的特征向量，那
么有
Ax??x
?x???x?Ax?A?x???A
?(A)?A
由定理4.5 可以得出，单位矩阵 I?Rn?n有I?1； 常用范数有
A?maxx?0nx?RAxxAxx1????maxAxx??1?
A1?maxx?0nx?R1?maxAx1
x?11A2?maxx?0nx?RAxx22?maxAxx2?12
定理4.8 设 A?Rn?n，那么有
n （1） A??max?aij ， 行范数
1?i?nj?1n （2） A1?max?aij ， 列范数
1?j?ni?1 （3） A2??(AA) TTn证：（1）对任 x?(x1,x2,?,xn)?R
?a11?a21?Ax?????an1a12a22?an2?n?ax?1jj??j?1?a1n??x1??n?????axa2nx22jj???????j?1? ???????????ann?????xn???n??ax??njj??j?1?48
nnijAx??max1?i?n?aj?1xj?max?aij?xj
1?i?nj?1nn?max?aij(maxxj)?x1?i?nj?11?j?n?1?i?nmax?aij
j?1nAxx???max?aij
1?i?nj?1由于 x?Rn的任意性，有
maxnx?Rx?0Axxn???max?aij
1?i?nj?1nA??max?aij
1?i?nj?1下面将证明
nA??max?aij
1?i?nj?1 存在i0,1?i0?n 使
nn?j?1ai0,j?max?aij
1?i?nj?1取 x(0)?(x1,x2,?,xn)?R,x(0)j(0)(0)(0)Tnxj 满足
(0)??1?????1(0)?ai0j?0ai0j?0(0)
x?maxxj1?j?n?1
nA??maxAxx??1??Ax(0)??max1?i?n?aj?1ijxj(0)
nni0jn??aj?1x(0)j??j?1nai0j?max?aij
1?i?nj?1?A??max?aij
1?i?nj?1n(2)证A1?max?aij
1?j?ni?1 49
对于x?Rn，x1?1，那么有
nnijnnAx1???ai?1nj?1xj???i?1j?1aijxj?n?????aij?xjj?1?i?1?n????max?aij?x?1?j?ni?1?n1
?max?aij1?j?ni?1另一方面，如果记
nn?i?1oai,jo?max?aij1?j?ni?1
那么对ej??xx?Rn,x1?1?，有
nnAejo1??i?1ai,jo?max?aij1?j?ni?1
从而有
nA1?maxAxnx?Rx?111?max1?j?n?i?1?ij
(3)对于2范数
1A2?maxAxx2?122?max??Ax?Ax??x?1?21T
TT2?max?xAAx???x?12注意到，ATA是半正定的对称矩阵，即对任y?Rn，
?AAy,y??yAAy??Ay?Ay?o
TTTT设其特征值为
?1??2????n?o
以及其对应的正交规范特征向量为?1,?2,??n?Rn，那么对任一满足x量x?Rn有
nnii2?1的向
x????i?1,??i?12i?1
50
?T?xx??n??i?12i??1?
?于是
nniiii2inxAAx?xTTT????????i?1i?1??1??i??1i?12
另一方面，取x??1，那么有
xAAx??1A?1??1?1?1??1TTTT
所以有
A2?maxAxx2?1T2??1??max?AA?T ???AA?
推论4.9 如果A是对称 ?A2??(A)
TA?A称为对称；设?为A的特征值，x为相应的特
征向量
Ax??x
Ax?AAx??Ax??x
?(A)?max?i
1?i?n2222 ?(A)?max?i1?i?n?(max?i)?[?(A)]
1?i?n22??1例4.10 A???32?? 求A4?n?,A1,A2
解 A??max?aij?1?i?nj?1n7
A1?max?aij?6
1?j?ni?1??1TAA???23???1??4??32??10???4??1010?? 20? 51