定理1.2
aii(i?1,2,?,k)(i)全不为零的充分必
要条件是A的顺序主子式
?i?0,i?1,2,?,k，其中k?n
证明“?”（必要性）
(i)设aii?0,i?1,2,?,k，则可进行消去过程的k?1步，每
步A(m)由A逐次实行(?lijEj?Ei)?(Ei)的运算得到，这 些运算不改变相应顺序主子式的值，所以有
a11?m?(1)a12(1)???a1m(1)a22(2)a2m(2)(1)(2)(m)?a11a22?amm
amm(m)??m?0,m?1,2,?,k
“充分性”设命题对于k-1成立，现设
?1?0,?,?k?1?0,?k?0。由归纳假设有
a11?0,?ak?1,k?1?0，Gauss消去可以进行k-1步。 A?A(1)(1)(k?1)化为
(k)(k)?A11???0(k)A12? (k)?A22?A其中A11为对角元为a11?ak?1,k?1的上三角阵。由于A(k)是 由A经“一行（方程）乘一数加至另一行（方程）”逐步得 到的，因此A的k阶顺序主子式等于A(k)的k阶顺序主子式， 即
k?A11?k?det??0(k)(1)(k?1)*?(1)(2)(k?1)(k)?a11a22?ak?1,k?1ak,k (k)?akk?(k)由 ?k?0?akk?0。
Gauss消去过程
A?LA(n)
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其中L为单位下三角阵，A(n)为上三角阵。以后记为U，那 么A=LU
定理1.3非奇异矩阵A?Rn?n，若其顺序主子式
?i?0,i?1,2,?,n?1，那么存在唯一的单位下三角阵L
和上三角阵U，使得A=LU。
证明 Gauss消去过程已给出L，U。 下面证明唯一性
设A有两个分解，A?L1U1?L2U2
其中L1,L2为单位下三角阵，U1,U2为上三角阵，因A 非奇异?L1,L2,U1,U2都可逆。
U1U2?L1L2
U2仍为上三角阵，U1U2也是上三角阵，L1L2为单位下
?1?1?1?1?1三角阵
??U1U2?L1L2?IU1?U2,L1?L2
?1?1
可以证明，当A为奇异阵时，定理仍成立，A的LU分解 ，L为单位下三角阵，U为上三角阵，此分解称Doolittle分
?，其中D为对角阵，U?为单位 解。若将上三角阵U?DU??LD 那么有 上三角阵，并记L?? A?LU?为单位上三角阵，此分解称为 ?为下三角阵，U其中LCrout分解。
A?LDU
其中L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三角阵， 此称为A的LDU分解。
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定理1.4 非奇异阵A?Rn?n有唯一的LDU分解（D为 对角阵，L为单位下三角阵，U为单位上三角阵）的充分必 要条件是A的顺序主子式?1,?2,?,?n?1皆是非零。 如果A奇异，上述定理也成立。
§2 列主元Gauss消去法
例2.1 用三位十进制浮点运算求解
?1.00?10?5x1?1.00x2?1.00 ?1.00x?1.00x?2.00?12解 用（顺序）Gauss消去法
l21?a21a11?1.00?105
5a22?a22?l21a12?1.00?1.00?10a2,3?2.00?1.00?10(2)5(2)
在3位十进制运算的限制下，得
x2?a2,3a(2)(2)22?1.00
代回第一个方程得x1?0，此解不对 求解不对的原因是 用小数a11作除数，使l21是个大数，在计算a22中a22的值完 全被掩盖了：如果对方程组先作变换(E1)?(E2)， 再用Gauss消去法可以得
(2)x1?1.00,x2?1.00。
列主元消去法 进行第1步消去之前，在A的第1列 中选出绝对值最大的元素ai11, 即ai11?maxai1，
1?i?n其中i1?1。
由于A非奇异，有ai1?0，这一步骤称为选主元。
1
如果i1?1， 则消去过程与顺序Gauss消去法一样
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如果i1?1，则先进行换行(E1)?(Ei)，然后再
1Gauss消去运算，得?A(2)?b(2)?。 ?进行了k-1步选主元，换行和消去的步 骤，得?A(k)b(k)?，第k步先选主元aikk，
??使 aikk(k)(k)?maxaikk?i?nk(),ik?k
由于A(k)非奇异，有ai(k)kk?0
若ik?k，则进行顺序Gauss消去法的第k步
若ik?k，则对?A(k)b(k)?先换行： (Ek)?(Ei)，然
??k后再进行类似顺序Gauss消去法的运算。
如上进行n-1步选主元，换行与消去法运算，得
A(n)x?b(n)，此方程组与Ax=b等价。A(n)为上三
角阵，再回代求解。
例2.2 用列主元法解方程组Ax=b，计算过
程取5位数字，其中
??0.002??Ab?????1??3.99620.781255.56250.4??01.3816 ?47.4178??2解 ?A(1)b(1)?
??1? 选主元，a31?3.996，换行(E1)?(E3)
(1)l21?13.996?0.25025
l31??0.0023.996??0.00050050
再作行变换
(E2?l21E1)?(E2);(E3?l31E1)?(E3)
得到
?3.996?(2)b??0????0(2)5.5625?0.610772.00284?1.00102.0020?A(2)?7.4178???0.47471?0.40371??
2?对A(2)选列主元，a32?2.0028,i2?3，作换行
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(E2)?(E3)，计算
l32??0.610772.0028??0.30496
再作行变换(E3?l32E2)?(E3)，得到
?A(3)??3.996?(3)b??0????05.56252.0028042.0020?0.390477.4178??0.40371
??0.35159??消去过程完。回代计算得解
x1?1.9273此题精确解为
x2??0.69850x3?0.90043
x1?1.92730x1?1.9300x2??0.698496x2??0.68695x3?0.900423
x3?0.88888而不用列主元的顺序Gauss消去法有
列主元Gauss消去法对应的三角分解
列主元Gauss消去法分三步。1o选主元，2o换行，3o实行Gauss消去，对于三角分解差别在于换行。
Iij为单位矩阵I交换第i，j行而得的矩阵，显然有Iij=Iji，I?ij1?Iij。detIij??1。Iij称为对换矩阵（或称初等排列阵）。IijA相当于对矩阵作换行(Ei)?(Ej)。而AIij相当于A的第i，j列互换，若干个对换阵的乘积称为排列阵。
列主元Gauss消去的每次，先换行后消去，因此有
A(k?1)?LkIkikAk(k)
其中Iki为对换阵。如果不需换行，则取Ik,i?I。
k?1???Lk????????1?lk?1,k??ln,k1?????????1??
列主元Gauss消去法进行到n-1步后，得到上三角阵A(n)
U?A
(n)?Ln?1In?1,in?1Ln?2In?2,in?2?L1I1,i1A
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