绝密★启用前 试卷类型：A
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式为V=
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合S?{x|x?2x?0,x?R}，T?{x|x?2x?0,x?R}，则S?T? A．{0} B．{0,2} C．{?2,0} D．{?2,0,2} 2．函数f(x)?221Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 3lg(x?1)的定义域是
x?1A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)?(1,??) D．[?1,1)?(1,??) 3．若i(x?yi)?3?4i，x,y?R，则复数x?yi的模是 A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知sin(5?1??)?，那么cos?? 252112A．? B．? C． D．
5555
5．执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是
A．1 B．2 C．4 D．7 开始
输入n
2
i=1, s=1
1 否正视图i ≤ n 是输出s s=s+(i-1)
结束俯视图 i=i +1
图 1
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
1
1侧视图图 2 A．
112 B． C． D．1 633227．垂直于直线y?x?1且与圆x?y?1相切于第一象限的直线方程是
A．x?y?2?0 B．x?y?1?0 C．x?y?1?0 D．x?y?2?0 8．设l为直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若l//?，l//?，则?//? B．若l??，l??，则?//? C．若l??，l//?，则?//? D．若???，l//?，则l?? 9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于
1，则C的方程是 2x2y2x2y2x2y2x2y2?1 C．???1 B．??1 D．?A．?1
43442433????10．设a是已知的平面向量且a?0，关于向量a的分解，有如下四个命题： ?????①给定向量b，总存在向量c，使a?b?c；
?????②给定向量b和c，总存在实数?和?，使a??b??c；
?????③给定单位向量b和正数?，总存在单位向量c和实数?，使a??b??c； ?????④给定正数?和?，总存在单位向量b和单位向量c，使a??b??c； ???上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．设数列{an}是首项为1，公比为?2的等比数列，则a1?|a2|?a3?|a4|? 12．若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a? ．
2?x?y?3?0?13．已知变量x,y满足约束条件??1?x?1，则z?x?y的最大值是
?y?1?（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为
．
??2cos?．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲
BC 2
EA图 3D线C的参数方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB?3，
BC?3，BE?AC，垂足为E，则ED? ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)????2cos?x??,x?R．
12??(1) 求f?????的值； 3??3?3??,???,2??，求5?2?(2) 若cos?????f????．
6??17．（本小题满分13分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量） 频数（个） [80,85) 5 [85,90) 10 [90,95) 20 [95,100) 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 18．（本小题满分13分）
如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD?AE，F是BC的中
点，AF与DE交于点G，将?ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A?BCF，其中BC?A2． 2A(1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF?平面ABF；
2(3) 当AD?时，求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG． 3
19．（本小题满分14分）
BGEDGEDFCF图 4CB图 5 3
设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足4Sn?an?1?4n?1,n?N,且a2,a5,a14构成等比数
2?列．
(1) 证明：a2?4a1?5；
(2) 求数列?an?的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有20．（本小题满分14分）
已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点． (1) 求抛物线C的方程；
(2) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AF?BF的最小值．
21．（本小题满分14分）
设函数f(x)?x?kx?x ?k?R?．
321111?????． a1a2a2a3anan?1232．设P为直线l2(1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间；
(2) 当k?0时,求函数f(x)在?k,?k?上的最小值m和最大值M．
2013年广东高考文科数学A卷参考答案
一、选择题 题号 1 选项 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B 二、填空题
11. 15 12.
?x?1?cos?1 13.5 14. ? （?为参数） 15. 2?y?sin?21 2
三、解答题
4
16. 解：(1)f????????????2cos??2cos??????1 3312?????4?34?3??,???,2??，sin???1?cos2???， 55?2?（2）?cos?????????1????f????=2cos?????2?cos?cos?sin?sin???．
6?4?44?5???17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为（2）重量在[80,85)的有4?20=0.4； 505=1个； 5+15（3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，?95,100?分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和?95,100?中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以P(A)?18. 解：（1）在等边三角形ABC中，AD?AE
31?. 62?ADAE,在折叠后的三棱锥A?BCF中也成立， ?DBEC?DE//BC ,?DE?平面BCF， BC?平面BCF，?DE//平面BCF；
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF?BC①，BF?CF?1. 2? 在三棱锥A?BCF中，BC?2，?BC2?BF2?CF2?CF?BF②
2?BF?CF?F?CF?平面ABF；
（3）由（1）可知GE//CF，结合（2）可得GE?平面DFG.
11111?13?13?VF?DEG?VE?DFG???DG?FG?GF??????????3324 32323?32??2219. 解：（1）当n?1时，4a1?a2?5,a2?4a1?5，?an?0?a2?24a1?5
22（2）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4 22an?1?an?4an?4??an?2?,?an?0?an?1?an?2
2?当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.
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