第五编 平面向量、解三角形
§5.1 平面向量的概念及线性运算
基础自测
1.下列等式正确的是 （填序号）.
①a+0=a ②a+b=b+a ③AB+BA≠0 ④AC=DC+AB+BD 答案 ①②④
2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是 .
①AB=DC ②AD+AB=AC ③AB-AD=BD ④AD+CB=0 答案 ①②④
3.（20082广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF= . 答案
23D A
C B a+
13b
4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a，AD=b，则BE= . 答案 b-12a
125.设四边形ABCD中，有DC=答案 等腰梯形
例1 给出下列命题
AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是 . ①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 . 答案 4
例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形， AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB=a，
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AD=b，DC=c，试用a、b、c表示BC，MN，
DN+CN.
解 BC=BA+AD+DC=-a+b+c， ∵MN=MD+DA+AN， ∴MD=-1212DC,DA=-AD,AN=
1212AB,
∴MN=a-b-c.
DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.
例3 设两个非零向量a与b不共线， （1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b)， 求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. （1）证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5AB. ∴AB、BD共线， 又∵它们有公共点B， ∴A、B、D三点共线.
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线， ∴存在实数?，使ka+b=?(a+kb), 即ka+b=?a+?kb. ∴(k-?)a=(?k-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k-?=?k-1=0，∴k2-1=0. ∴k=±1.
例4 （14分）如图所示，在△ABO中，OC=
1214OA,
OD=OB,AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b.试
用a和b表示向量OM. 解 设OM=ma+nb，
则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD=OD-OA=
12OB-OA=-a+
12b.
又∵A、M、D三点共线，∴AM与AD共线. ∴存在实数t,使得AM=tAD， 即(m-1)a+nb=t(-a+
1212b). 4分
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
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?m?1??t? ∴ ?n?t?2?，消去t得：m-1=-2n.
即m+2n=1. ① 6分 又∵CM=OM-OC=ma+nb-CB=OB-OC=b-1414a=(m-
14)a+nb.
a=-
14a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线. 10分 ∴存在实数t1,使得CM=t1CB, ∴(m-11)a+nb=t1???4?4?a b ???,
11???t1?m?∴?44?n?t1?，
消去t1得,4m+n=1 ② 12分 由①②得m=∴OM=
1.下列命题中真命题的个数为 . ①若|a|=|b|，则a=b或a=-b;
②若AB=DC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； ③若a=b,b=c,则a=c; ④若a∥b,b∥c,则a∥c. 答案 1
2.在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D， 使DB=
131717,n=
3737,
a+b. 14分
OB.DC与OA交于E，设OA=a，OB=b，用a,
b表示向量OC，DC. 解 因为A是BC的中点， 所以OA=
12(OB+OC)，即OC=2OA-OB=2a-b；
232353DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.
133.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,条直线上？
解 设OA=a，OB=tb，OC=
13(a+b)三向量的终点在同一
(a+b)，
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∴AC=OC-OA=-
23a+
13b，AB=OB-OA=tb-a.
要使A、B、C三点共线，只需AC=?AB 即-23a+
13b=?tb-?a
?2??????3∴有 ??1??t??32?????3，∴??t?1?2?
∴当t=
12时，三向量终点在同一直线上.
4.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上， 且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值. 解 方法一 设e1=BM,e2=CN, 则AM=AC+CM=-3e2-e1，
BN=BC+CN=2e1+e2.
因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数?、?，使
AP=?AM=-3?e2-?e1，
BP=?BN=2?e1+?e2，∴BA=BP-AP=（?+2?）e1+（3?+?）e2，
另外BA=BC+CA=2e1+3e2，
4???????2??2?5，∴???3????3???3?5?，
∴AP=
45AM,BP=
35BN,∴AP∶PM=4∶1.
方法二 设AP=?AM， ∵AM=
12（AB+AC）=
3412AB+
34AN，
∴AP=
?2AB+?AN.
∵B、P、N三点共线，∴AP-AB=t(AB-AN), ∴AP=(1+t)AB-tAN
???1?t??2∴?
3????t??4∴
?2+
34?=1，?=
45，∴AP∶PM=4∶1.
一、填空题
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1.下列算式中正确的是 （填序号）.
①AB+BC+CA=0 ②AB-AC=BC ③02AB=0 ④?（?a）=?2?2a 答案 ①③④
2.（20082全国Ⅰ理）在△ABC中，AB=c，AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD= （用b,c表示）. 答案
23b+
13c
3.若AB=3e1，CD=-5e1，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD是 . 答案 等腰梯形
4.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面 分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP =aOP1+bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足 a 0,b 0.(用“＞”,“＜”或“=”填空) 答案 ＞ ＜
5.设OB=xOA+yOC，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），则x+y= . 答案 1
6.已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA+PB+PC=AB，则点P在线段 上. 答案 AC
7.在△ABC中，CA=a，CB=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP可用a、b表示为 . 答案 -23a+
13b
138.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=答案
23CA+?CB,则?= .
二、解答题
9.如图所示，△ABC中，AD=
23AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设AB=a，AC=b，
用a,b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.
??解 2?AD?AB?3?DE//BC?AE=
23AC=
23b.
BC=AC-AB=b-a.
由△ADE∽△ABC，得DE=
23BC=
23(b-a).
由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得
DN=
12DE=
13(b-a).
1212而且AM=AB+BM=a+BC=a+(b-a)
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