答案 3a
4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时. 答案
1762
5.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，?，?是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 （填序号）.
①c和? ②c和b ③c和? ④b和?
答案 ④
6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相 距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在 货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时. 答案 20(6-2) 7.在△ABC中，若∠C=60°，则答案 1
8.（20082苏州模拟）在△ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且
?2sinAaab?c+
bc?a= .
=
cosBb
=
cosCc
,则∠A= .
答案
二、解答题
9.在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2. （1）f（1）=0且B-C=
?3，求角C的大小；
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围. 解 （1）∵f（1）=0，∴a-(a-b)-4c=0， ∴b2=4c2，∴b=2c，∴sinB=2sinC， 又B-C=
?32
2
2
2
.∴sin(C+
?3?3)=2sinC，
?3∴sinC2cos+cosC2sin=2sinC，
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∴
32sinC-?632cosC=0，∴sin(C-?6?6)=0，
又∵-＜C-＜
5?6，∴C=
?6.
（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0， ∴a2+b2=2c2，∴cosC=
a2?b2?c22ab=
c22ab，
12又2c2=a2+b2≥2ab，∴ab≤c2，∴cosC≥又∵C∈（0，?），∴0＜C≤
?3，
.
3410.（20082泰安模拟）在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=(1)求边c的值； （2）求sin(C-A)的值. 解（1）c2=a2+b2-2abcosC =12+22-231323∴c=2. （2）∵cosC=
3434.
=2，
，∴sinC=
acsinC74.
1sinA在△ABC中，
sinA=,即=
274.
∴sinA=
148,∵a＜b,∴A为锐角，cosA=
528.
∴sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA =
743
528-
343
148=
1416.
11.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧
AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C， 设∠AOP=?，求△POC面积的最大值及此时?的值. 解 ∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-?， ∠OCP=120°.
在△POC中，由正弦定理得∴又
2sin120?OPsin?PCO=
CPsin?，
=
CPsin?，∴CP=
243sin?.
OCsin(60???)43=
sin120?，
∴OC=sin（60°-?）.
因此△POC的面积为
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S（?）=
1212CP2OCsin120°
4332==
2
43sin?2sin（60°-?）3
43sin?sin（60°-?）
32122
=
43sin?(cos?-23sin?)
=2sin?2cos?-33sin?
3333=sin2?+
233cos2?-?6
=sin(2?+
?6)-.
33∴?=时，S（?）取得最大值为.
12.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A（3-1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离
A 2 n mile的C处的缉私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.
设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=103t，BD=10t.
在△ABC中，∵AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°, ∴由余弦定理，
得BC2=AB2+AC2-2AB2AC2cos∠BAC
=(3-1)2+22-23(3-1)323cos120°=6,
∴BC=6，∵∠CBD=90°+30°=120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD=
BD?sin?CBDCD=
10tsin120?103t=
12,
∴∠BCD=30°.
即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.
单元检测五
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
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1.（20082辽宁理）已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+ CB=0，则OC = （用OA、OB表示）. 答案 2OA-OB
2.向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为 . 答案 90°
3.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M，N分别是AB，CD的中点，设AB=e1, AD=e2,MN 可表示为 (用e1,e2表示). 答案 e2-13e1
4.在△ABC中，A=105°，C=45°,AB=2，则AC= . 答案 1
5.（20082 湖南理）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，则AD+BE+
CF与BC的位置关系为 . 答案 平行
6.（20082湖北理）设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2)，则(a+2b)2c= . 答案 -3
7.（20082重庆理）若过两点P1（-1，2），P2（5，6）的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段P1P2所成的比?的值为 . 答案 -13
a?2ba?2b8.已知非零向量a,b,若a2b=0,则答案 1
= .
9.设平面向量a=(x,y),b=(x2,y2),c=(1,-1),d=(，?9114),若a2c=b2d=1,则这样的向量a的个数是 个.
答案 0
10.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=3,|a+b|=13，则|b|= . 答案 4
11.（20082北京理，10）已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么b2（2a+b）的值为 . 答案 0
12.（20082天津文，14）已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若c=a-(a2b)b，则|c|= . 答案 82
13.（20082陕西理，15）关于平面向量a，b，c有下列三个命题：
①若a2b=a2c，则b=c；②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为 . 答案 ②
14.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为 m.
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答案
4003
二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（14分）设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值； （2）求c在a方向上的投影； （3）求?1和?2，使c=?1a+?2b.
（1）证明 ∵a=(-1,1),b=(4,3),-133≠134, ∴a与b不共线，设a与b的夹角为?, cos?=
a?bab=
?4?32?5=-
210.
（2）解 设a与c的夹角为?, cos?=
a?cac=
?5?22?29=-
75858，
∴c在a方向上的投影为 |c|cos?=-722.
?5???1?4?2??2??1?3?2(3)解 ∵c=?1a+?2b,∴? 解得?1=-237，
,?2=
37.
16.(20082合肥模拟)（14分）已知向量a=(cosx,sinx),|b|=1,且a与b满足|ka+b|=3|a-kb| (k＞0). （1）试用k表示a2b，并求a2b的最小值； （2）若0≤x≤?,b=(,2132),求a2b的最大值及相应的x值.
解（1）∵|a|=1，|b|=1， 由|ka+b|=3|a-kb|, 得(ka+b)=3(a-kb), 整理得a2b=
k22
2
?14k=
14(k?1k)≥
12, .
?6当且仅当k=1时，a2b取最小值
1212（2）由a2b=cosx+
?632sinx=sin（x+≤
7?6）.
∵0≤x≤?，∴∴-12≤x+
?6，
≤sin(x+
?3?6)≤1.
当x=时，a2b取最大值为1.
17.（20092海安高级中学测试题）（14分）在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),
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