n=(2-sinA,cosA),若|m+n|=2. （1）求角A的大小；
（2）若b=42,且c=2a，求△ABC的面积. 解 （1）m+n=(2+cosA-sinA,cosA+sinA) |m+n|2=(2+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2
=2+22(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2 =2+22(cosA-sinA)+2 =4-4sin（A-?4）
?4∵|m+n|=2,∴4-4sin（A-?4）=4,sin（A-3?4?4）=0.
又∵0＜A＜?,∴-∴A=
?4＜A-
?4＜,∴A-
?4=0,
.
(2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA, 又b=42,c=2a,A=
?4，
22得a2=32+2a2-234232a2,
即a2-82a+32=0,解得a=42，∴c=8. ∴S△ABC=S△ABC=
1212b2csinA=
12342383sin
?4=16.
3(42)2=16.
18.（20082重庆理，17）（16分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°,c=3b.求: (1)(2)
ac的值;
11tanCtanB?的值.
解 (1)由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA =(c)2+c2-22
3ac113c2c2
12=
79c2，
故=
73.
1tanB?1tanC（2）方法一 =
sin(B?C)sinBsinC=
cosBsinC?cosCsinBsinBsinC
=
sinAsinBsinC,
由正弦定理和（1）的结论得
7sinAsinBsinC=
1sinA2
a2bc=
232913c2=
c?c1433=
1439.
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故
1tanB?1tanC=
1439.
方法二 由余弦定理及（1）的结论有
7222cosB=
a?c?b2ac=9c2?c2?2?(13c)2=
527，
732528c?c故sinB=1?cos2B=1?同理可得
7222=
327.
cosC=
a?b?c2ab=9c2?197c2?c13c2=-c?127，
2?3sinC=1?cos2c=1?从而
531tanB3?1tanC3128=+
3327.
=
cosBsinB
cosCsinC=-
19=
1439.
19.（20082湖南理，19）（16分）在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+?（ 其中sin?=＜90°）且与点A相距1013海里的位 置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解 （1）如图（1）所示，AB=402， AC=1013，∠BAC=?，sin?=由于0°＜?＜90°,
?26??所以cos?=1???26???22626,0°＜?2626.
=
52626.
图（1）
由余弦定理得
22BC=AB?AC?2AB?AC?cos??105.
所以船的行驶速度为
1054060=
10523=155（海里/小时）.
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（2）方法一 如图（2）所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1）、C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有， x1=y1=
22AB=40,
x2=ACcos∠CAD
=1013cos(45°-?)=30, y2=ACsin∠CAD
=1013sin(45°-?)=20. 所以过点B、C的直线l的斜率 k=
2010=2,
直线l的方程为y=2x-40. 又点E（0，-55）到直线l的距离 d=
所以船会进入警戒水域.
方法二 如图（3）所示，设直线AE 与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠ABC=
20?55?401?4=35＜7,
AB2?BC2?AC22AB?BC2
2=
(402)?(105)?(1013)
2?402?105=
31010.
从而sin∠ABC=1?cos2?ABC =1?910=
1010.
在△ABQ中,由正弦定理得
402??2?10101010AQ=
ABsin?ABCsin(45???ABC)=40.
由于AE=55＞40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt△QPE中,PE=QE2sin∠PQE=QE2sin∠AQC =QE2sin（45°-∠ABC）=153
55=35＜7.
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所以船会进入警戒水域.
20.（16分）如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′ 和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初 甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用每小 时4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行. （1）起初，两人的距离是多少？ （2）用t表示t小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？
解 （1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则由余弦定理： |AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|2|OB|2cos60° =32+12-233313
12=7,∴|AB|=7.
所以甲、乙两人起初的距离是7km.
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q， 则|AP|=4t，|BQ|=4t， 当0≤t≤
34时，由余弦定理
|PQ|2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）2cos60°， 当t＞
34时，
|PQ|2=（4t-3）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120°. 注意到上面两式实际上是统一的，
所以|PQ|2=（16t2-24t+9）+（16t2+8t+1）+（16t2-8t-3）=48t2-24t+7， 即|PQ|=48t2?24t?7.
2（3）∵|PQ|=
1??48?t??4???4，
∴当t=
14时，|PQ|的最小值是2.
即在第15分钟末，两人的距离最短.
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