EF
ABEF
AB.
一、填空题
1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则答案 -12mn= .
2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b.若A、B、D三点共线，则 p的值为 . 答案 -1
3.已知向量OM=(3,-2),ON=(-5,-1),则答案 ??4，?
?2??1?12MN= .
4.（20072北京文）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+?b)，则实数?的值是 . 答案 -3
5.（20082辽宁文）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且BC=2AD，则顶点D的坐标为 . 答案 ?2，?
?2??7?6.设0≤?＜2?，已知两个向量OP1=（cos?，sin?），OP2=（2+sin?，2-cos?），则向量P1P2长度的最大值是 . 答案 32
7.（20082全国Ⅱ文）设向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量?a+b与向量c=(-4,-7)共线，则?= . 答案 2
8.（20082菏泽模拟）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a＞0,b＞0)，则ab的最小值是 . 答案 16 二、解答题
9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）. 设AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=-2b， （1）求：3a+b-3c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.
解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
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（2）∵mb+nc=（-6m+n，-3m+8n）， ∴???6m?n?5??3m?8n??5，解得??m??1?n??1.
10.若a,b为非零向量且a∥b,?1,?2∈R,且?1?2≠0. 求证：?1a+?2b与?1a-?2b为共线向量. 证明 设a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数m,使得a=mb, 即a=(x1,y1)=(mx2,my2),
∴?1a+?2b=((m?1+?2)x2,(m?1+?2)y2) =(m?1+?2)(x2,y2)
同理?1a-?2b=(m?1-?2)(x2,y2), ∴(?1a+?2b)∥(?1a-?2b)∥b, 而b≠0,∴(?1a+?2b)∥(?1a-?2b).
11.在?ABCD中，A（1，1），AB=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P. （1）若AD=（3，5），求点C的坐标； （2）当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹. 解 （1）设点C坐标为（x0，y0）,
又AC=AD+AB=（3，5）+（6，0）=（9，5）, 即（x0-1,y0-1）=（9，5）， ∴x0=10，y0=6，即点C（10，6）. （2）由三角形相似，不难得出PC=2MP 设P（x,y），则
BP=AP-AB=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,
1212AC=AM+MC=12AB+3MP）
=
AB+3（AP-
AB=3AP-AB=（3（x-1），3（y-1））-（6，0） =（3x-9，3y-3），
∵|AB|=|AD|，∴?ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，
∴AC⊥BP，即（x-7，y-1）2（3x-9，3y-3）=0. （x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0， ∴x2+y2-10x-2y+22=0（y≠1）. ∴（x-5）2+（y-1）2=4（y≠1）.
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点. 12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),AP=AB+?AC.当?为何值时， （1）点P在第一、三象限的角平分线上； （2）点P到两坐标轴的距离相等？
解 （1）由已知AB=（3，1），AC=（5，7）， 则AB+?AC=(3，1)+?(5，7)=（3+5?，1+7?）. 设P（x，y），则AP=（x-2，y-3），
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∴??x?2?3?5??y?3?1?7?，∴??x?5?5??y?4?7?.
∵点P在第一、三象限的角平分线上， ∴x=y，即5+5?=4+7?,∴?=
12.
(2）若点P到两坐标轴的距离相等， 则|x|=|y|,即|5+5?|=|4+7?|, ∴?=
12或?=-
34.
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1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 . 答案
655
2.在边长为1的正三角形ABC中，设BC=a，AB=c，AC=b，则a2b+b2c+c2a= . 答案
12
3.向量a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则|a-b|的值是 . 答案 3
4.（20092常州市武进区四校高三联考）已知向量a=(2,1),b=(3,?) (?＞0),若(2a-b)⊥b,则?= . 答案 3
5.(20082浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）2（b-c）=0，则|c|的最大值是 . 答案 2
例1 已知向量a=?cos??32x,sin??3?x? 2?,b=?cos??x2,?sinx??且2?x∈???3???4?.
（1）求a2b及|a+b|;
(2)若f(x)=a2b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 解 （1）a2b=cosa+b=?cos??3x2x232xcos
32x2-sin
32xsin
x2=cos2x,
?cos，sinx?sinx?? 2?
(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1
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∴当cosx=
12时，f(x)取得最小值为-
32；
当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1.
例2 已知a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?)(0＜?＜?＜?). (1)求证：a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的模相等，求?-?.(其中k为非零实数) （1）证明 (a+b)2(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2
2222
=(cos?+sin?)-(cos?+sin?)=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
（2）解 ka+b=(kcos?+cos?,ksin?+sin?),a-kb=(cos?-kcos?,sin?-ksin?),
ka?b=k2?2kcos(???)?1, =1?2kcos(???)?k2.
a?kb?ka?b=a?kb,
?2kcos(???)??2kcos(???).
又k?0,?cos(???)=0. 而0＜?＜?＜?,??-?=
?2.
?3例3 （14分）设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为角为钝角，求实数t的范围.
解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角， 得
,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹
?222t te1 e?7e1?7e?·?e1?·e1?2e2?t ＜0, 3分 te 2即(2te1+7e2)2(e1+te2)＜0, 化简即得：2t2+15t+7＜0, 解得-7＜t＜-12, 7分
当夹角为?时，
也有(2te1+7e2)2(e1+te2)＜0,
但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向. 9分 设2te1+7e2=?(e1+te2),?＜0,
????14?2t????可求得?7??t，∴? 12分 14???0?t???2?∴所求实数t的范围是??7,?????14??????2???142,?1??. 14分
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