将上式代入
a2cosBcosC
=-
b2a?c得:
b2a?c?c2?b2
22ac2
2
a2
2ab2?b?c22=-
整理得:a+c-b=-ac ∴cosB=
a2?c2?b22ac=
?ac2ac =-2312
∵B为三角形的内角，∴B=（2）将b=13,a+c=4,B=
23?.
?代入
b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b2=16-2ac?1??12?1??2?,∴ac=3.
∴S△ABC=acsinB=
334.
2
2
2
例3 （14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c-a+bc=0. （1）求角A的大小；
（2）若a=3，求bc的最大值； （3）求
asin(30??C)b?c2的值.
22解 （1）∵cosA=
b?c?a2bc=
?bc2bc=-
12, 2分
又∵A∈（0°，180°），∴A=120°. 4分 （2）由a=3,得b2+c2=3-bc,
又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），
∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）. 6分 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. 8分 （3）由正弦定理得：
asin(30??C)b?casinA?bsinB?csinC?2R,
∴=
?2RsinAsin(30??C)2RsinB?2RsinC 10分
sinAsin(30??C)sinB?sinC 11分
313(cosC?sinC)222= 12分 sin(60??C)?sinC33432=
432cosC?cosC?sinC) 13分
sinC21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
=
12. 14分
例4 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a-b）sin（A+B），判断三角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为
a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］ ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2? 得2A=2B或2A=?-2B, 即A=B或A=
?22
2
-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB 由正、余弦定理,可得 ab
2
b?c?a2bc222= ba
2
a2?c2?b22ac
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a-b)(a+b-c)=0 ∴a=b或a2+b2=c2
∴△ABC为等腰或直角三角形.
1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b; (2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a. 解 （1）由正弦定理得
asinA?bsinB2
2
2
2
2
.
∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∴b=
asinBsinA?8?sin60?sin45?=46.
csinBb8sin30?4(2)由正弦定理得sinC=?=1.
又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.
22∴A=180°-(B+C)=60°,a=c?b=43.
2.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）-c，求tanC的值.
解 依题意得absinC=a+b-c+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,
2
2
2
22
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所以2sin
C2cos
C2C2 =4cos2
C2
化简得：tan=2.
C222tan从而tanC=
1?tanC2=-
43.
3.（20082辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=
?3.
（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值； （2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4. 又因为△ABC的面积等于3， 所以
12absinC=3，所以ab=4.
联立方程组?22??a?b?ab?4,??ab?4, 解得??a?2?b?2.
（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=
?2，B=
?6，a=
433，b=
233.
当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
?23，?a?22???a?b?ab?4,3联立方程组? 解得?
?b?2a,43???b?3.?所以△ABC的面积S=
12absinC=
233.
4.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状. 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=
12或cosB=
?332（舍去）.∴cosB=
12.
∵0＜B＜?,∴B=.
∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.
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∴cosB=
a2?c2?b2a2?c2?(2aca?c2)22ac2
2
==
12，
化简得a+c-2ac=0,解得a=c. 又∵B=
?3，∴△ABC是等边三角形.
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0， ∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=
1212或cosB=
32（舍去）.
?3∴cosB=,∵0＜B＜?,∴B=,
∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin∴sinA+sin?∴sinA+sin
32?3=3.
?2???A?=?3?2?3cosA3，
2?3-cos
sinA=3.
??化简得∴A+
?6sinA+
?232cosA=3,∴sin?A?,
???6? =1.
=,∴A=
?3∴C=
?3,∴△ABC为等边三角形.
一、填空题
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形. 答案 等腰
2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则
35sinBsinC的值为 .
答案
143.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=答案 45°
4.在△ABC中，BC=2，B=答案
33（b+c-a），则A= .
222
?3，若△ABC的面积为
32，则tanC为 .
5.在△ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .
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答案 60°
6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则C= . 答案 45°或135°
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B= . 答案
5?64
4
4
2
2
2
8.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值是 . 答案 3或23 二、解答题
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c). （1）求证：A=2B；
（2）若a=3b,判断△ABC的形状. （1）证明 因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc, 所以在△ABC中，由余弦定理可得, cosB=
a2a2?c?b2ac22=
c2?bc2ac=
b?c2a
=
2ab=
a2b=
sinA2sinB,
所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以由a2=b(b+c)可得c=2b, cosB=
a2ab=3,
?c?b2ac22=
3b2?4b22?b2=
32,
43b所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC为直角三角形.
10.（20082全国Ⅱ理，17）在△ABC中，cosB=-（1）求sinA的值； （2）△ABC的面积S△ABC=解 (1)由cosB=-由cosC=
45513332513，cosC=
45.
，求BC的长.
1213,得sinB=
35,
,得sinC=.
3365所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=
33212332.
(2)由S△ABC=,得3AB3AC3sinA=.
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