由(1)知sinA=
3365,故AB3AC=65.
2013又AC=故
2013AB?sinBsinC=AB,
AB2=65,AB=
132.
112所以BC=
AB?sinAsinC=.
11.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax2-2c2?b2 x-b=0 (a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=103，c=7. （1）求角C； （2）求a，b的值.
解 （1）设x1、x2为方程ax2-2c2?b2x-b=0的两根， 则x1+x2=
2c2?b2a2
2
，x12x2=-4(c2ba.
2∴(x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2=∴a2+b2-c2=ab. 又cosC=
a2?b)2+
4ba=4.
a?b2?c22ab=
ab2ab=
12,
又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)由S=
12absinC=103，∴ab=40. ①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC, 即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-23403?1???1??2?.
∴a+b=13.又∵a＞b ② ∴由①②，得a=8,b=5.
12.（20082广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2
A?B2-cos2C=
72.
(1)求角C的大小； （2）求△ABC的面积. 解 （1）∵A+B+C=180°, 由4sin2得4cos2
A?B2C2-cos2C=
7272,
-cos2C=,
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∴42
1?cosC2-(2cos2C-1)=
72,
12整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=∵0°＜C＜180°,∴C=60°. (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC, 即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S△ABC=
12,
absinC=
12363
32=
332.
§5.5 正弦定理、余弦定理的应用
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°，则∠BAC= . 答案 130°
2.从A处望B处的仰角为?，从B处望A处的俯角为?，则?、?的大小关系为 . 答案 ?=?
3.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则△ABC是 三角形. 答案 等边
4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 km.
答案 107
5.线段AB外有一点C，∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以 50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小. 答案
例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD= 45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离. 解 如图所示，在△ACD中， ∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD=3 km.
在△BCD中，∠BCD=45°， ∠BDC=75°，∠CBD=60°.
7043
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∴BC=
3sin75?sin60?=
6?22.
△ABC中，由余弦定理，得 AB2=(3)+(
26?22)-2333
26?223cos75°
=3+2+3-3=5，
∴AB=5(km).
∴A、B之间的距离为5 km.
例2 （14分）沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是 50°，距离是3 km，从B到C，方位角是110°，距离是3 km，从C到D,方位角是140°，距离是 （9+33）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）. 解 示意图如图所示， 3分 连接AC，在△ABC中，
∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又AB=BC=3，
∴∠BAC=∠BCA=30°. 5分 由余弦定理可得
AC=AB2?BC2?2AB?BCcos120? = 9?9?2?3?3?(?)
21=27=33(km). 8分 在△ACD中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=33+9.
由余弦定理得AD=AC2?CD2?2AC?CDcos120?
= 27?(33?9)2?2?33?(33?9)?(?)
21=
9(2?26)(km). 10分
CD?sin?ACDAD由正弦定理得sin∠CAD=
32
(33?9)?=
2=
22. 12分
92?96∴∠CAD=45°,
于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°,
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所以，从A到D的方位角是125°， 距离为
9(2?26)km. 14分
例3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB 的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以 DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC 的两侧，求四边形OPDC面积的最大值. 解 设∠POB=?，四边形面积为y， 则在△POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP2OCcos?=5-4cos?. ∴y=S△OPC+S△PCD==2sin(?-∴当?-?3123132sin?+
34（5-4cos?）
?3)+
?2534.
5?6=，即?=时，ymax=2+
534.
所以四边形OPDC面积的最大值为2+
534.
1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？ 解 设∠ACD=?，∠CDB=?. 在△BCD中，由余弦定理得 cos?==
202BD2?CD2?CB22BD?CD2
?21?3122?20?21437=-
17，
则sin?=,
而sin?=sin(?-60°)=sin?cos60°-cos?sin60° =
4373
12+
323
17=
5314,
21sin60?在△ACD中，由正弦定理得
531432=
ADsin?,
∴AD=
21sin?sin60?21?==15(千米).
答 这个人再走15千米就可到达A城.
2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得 ∠BCD=?，∠BDC=?，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB.
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解 在△BCD中，∠CBD=?-?-? 由正弦定理得所以BC=
BCsin?BDC==
CDsin?CBD，
CDsin?BDCsin?CBDs?sin?sin(???)在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=
stan?sin?sin(???).
3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图 所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比 AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越 好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多 少米？
解 设BC=a（a＞1）,AB=c，AC=b，b-c=c2=a2+b2-2abcos60°， 将c=b-1212.
代入得(b-1412)=a+b-ab,
222
化简得b(a-1)=a2-1.由a＞1,知a-1＞0.
34a2b=
4a?1?(a?1)2?2a?2?a?1=
3
=(a-1)+
4(a?1) +2?33+2,
当且仅当a-1=
324(a?1)时，取“=”号，
即a=1+时，b有最小值2+3.
32答 AC最短为(2+3)米，此时，BC长为(1+
一、填空题
)米.
1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°视角，则B、C的距离是 海里. 答案 56
2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 m. 答案 20(1+
33)
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km, 灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°， 则灯塔A与灯塔B的距离为 km.
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