=
12(a+b).
?ADNAD?∽ ?ABM23AB??????AN=
23AM=
13(a+b).
10.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE=（1）用a、b表示向量AD、AE、AF、BE、BF； （2）求证：B、E、F三点共线. （1）解 延长AD到G，使AD=连接BG、CG，得到 ABGC， 所以AG=a+b,
AD1223AD，AB=a，AC=b.
AG，
===
122312AG=
121312(a+b),
AEAD=(a+b).
AFAC=b,
1312BE=AE-AB==AF-AB=
(a+b)-a=
1213(b-2a).
BFb-a=(b-2a).
23(2)证明 由(1)可知BE=BF,所以B、E、F三点共线.
1211.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=证明 方法一 如图， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴EA+ED=0，FB+FC=0， 又∵AB+BF+FE+EA=0，
∴EF=AB+BF+EA ① 同理EF=ED+DC+CF ② 由①+②得，
2EF=AB+DC+（EA+ED）+（BF+CF）=AB+DC. ∴EF=
12(AB+DC).
(AB+DC).
方法二 连结EB，EC， 则EC=ED+DC，
EB=EA+AB，
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
∴EF=
121212(EC+EB)
==
(ED+DC+EA+AB) (AB+DC).
12.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM=xAB，AN=yAC， 求
1x+
1y的值.
解 根据题意G为三角形的重心， 故AG=
13(AB+AC)，
13MG=AG-AM=1313(AB+AC)-xAB
=(-x)AB+AC,
GN=AN-AG=yAC-AG
=yAC-=（y-1313(AB+AC)
13）AC-
AB,
由于MG与GN共线，根据共线向量基本定理知
MG=?GN?(
??113-x)AB+
13AC
=??(y?)AC?31?1?x?????33??1??(y?1)?3?31?AB?， 3?11?3??x13=
3y?13
?x+y-3xy=0两边同除以xy得
1x+
1y=3.
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
基础自测
1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量答案 (-1,2)
2.（20082 安徽理）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2，4)，AC=(1，3)，则BD= .
12a-
32b= .
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
答案 （-3，-5）
3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c= （用a,b表示）. 答案 -12a-??32b
?x?,b=(x，1)，其中`2?14.已知向量a=?8,答案 4
x＞0，若(a-2b）∥(2a+b)，则x的值为 .
5.设a=?sinx,?，b=?，cosx?，且a∥b，则锐角x为 .
?4??3??11???32答案
?4
例1 设两个非零向量e1和e2不共线.
（1）如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2， 求证：A、C、D三点共线；
（2）如果AB=e1+e2，BC=2e1-3e2，CD=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值. （1）证明 AB=e1-e2，BC=3e1+2e2, CD=-8e1-2e2,
AC=AB+BC=4e1+e2
=-
12(-8e1-2e2)=-
12CD,
∴AC与CD共线， 又∵AC与CD有公共点C， ∴A、C、D三点共线.
（2）解 AC=AB+BC=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2， ∵A、C、D三点共线，
∴AC与CD共线，从而存在实数?使得AC=?CD, 即3e1-2e2=?(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理， 得??3?2???2???k，解之得?=
23，k=
43.
例2 已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是?ABCD，则由AB=DC得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y), ∴???1?x??1??2?y?2, ∴x=0，y=-4.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）. （2）若是?ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4. ∴D点坐标为（2，4）（如图中的D2）. （3）若是?ABDC，则由AB=CD得 （0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得x=-2,y=0.
∴D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.
综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）. 例3 （14分）平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题： （1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d. 解 （1）∵（a+kc）∥（2b-a），
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分 ∴23(3+4k)-(-5)3(2+k)=0, 4分 ∴k=-1613. 6分
（2）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴???4?x?4??2?y?1??0???x?4???y?1??122， 10分
??55x?4??x?4????55解得?或?. 12分
2525???y?1?5?y?1?5???20?55?25????或d=?20?5，5?25?. 14分 ，????5555????∴d=?
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c，d表示AB，
AD.
解 方法一 设AB=a，AD=b， 则a=AN+NB=d+????1?b?2?
b=AM+MD=c+????1?a?2?
将②代入①得a=d+?????1??1????c???a??2???2??
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
?a=
43d-
23c,代入②
c-2323得b=c+????41??42???d?c??33?2??323d
即AB=
43d-c，AD=
43c-d
方法二 设AB=a，AD=b. 因M，N分别为CD，BC的中点， 所以BN=
12b，DM=
12a，
?c?b???因而??d?a???12?a?(2d?c)??32, ??21?b?(2c?d)b?32?a即AB=
23(2d-c), AD=
23(2c-d).
2.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且CM=3CA，CN=2CB，求点M、N及MN的坐标. 解 ∵A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）， ∴CA=（1，8），CB=（6，3），
∴CM=3CA=（3，24），CN=2CB=（12，6). 设M（x，y），则有CM=（x+3，y+4）， ∴??x?3?3?y?4?24，∴??x?0?y?20,
∴M点的坐标为（0，20）.
同理可求得N点坐标为（9，2），因此MN=（9，-18）， 故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），
MN的坐标为（9，-18）.
3.已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE=求证：EF∥AB.
13AC，BF=
13BC.
证明 设E、F两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则依题意，得AC=（2，2），BC=（-2，3），
ABAE=（4，-1）. =
11?22??2?AC=?,?,BF=BC=??,1? 33?33??3?BCAE=(x1,y1)-(-1,0)= ?,?,
?33???2?22?BF=(x2,y2)-(3,-1)= ???,1?3?.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网