1.向量a=(cos23°,cos67°),向量b=(cos68°,cos22°). (1)求a2b；
（2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值. 解 （1）a2b=cos23°2cos68°+cos67°2cos22° =cos23°2sin22°+sin23°2cos22°=sin45°=（2）由向量b与向量m共线， 得m=?b(?∈R）， u=a+m=a+?b
=(cos23°+?cos68°,cos67°+?cos22°) =（cos23°+?sin22°，sin23°+?cos22°）， |u|2=(cos23°+?sin22°)2+(sin23°+?cos22°)2
?12?? +， 2?+1=????22???22222.
=?2+
∴当?=-时，|u|有最小值为
???22.
2.已知平面向量a=??(1)证明：a⊥b;
12,3??,b=(-3,-1). 2??(2）若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数. (1)证明 a2b=?????123??2?2??,?3,?1?
=????1??2?3(-3)+
323(-1)=0,
∴a⊥b.
(2)解 ∵x⊥y,∴x2y=0, 即［a+(t2-2)b］2（-ka+t2b）=0.
展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a2b+t2(t2-2)b2=0, ∵a2b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,
∴-k+4t2(t2-2)=0,∴k=f(t)=4t2 (t2-2).
3.设a=(cos?，sin?)，b=(cos?，sin?)，且a与b具有关系|ka+b|=3|a-kb|(k＞0). （1）用k表示a2b；
（2）求a2b的最小值，并求此时a与b的夹角. 解 （1）∵|ka+b|=3|a-kb|， ∴(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1， 即k2+1+2ka2b=3(1+k2-2ka2b)，
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∴4ka2b=k+1.∴a2b=
2
k2?14k(k＞0）.
（2）由（1）知：∵k＞0 ∴a2b=
k4?14k?111·2·k· =.
24k12∴a2b的最小值为(当且仅当k=1时等号成立)
a·bab设a、b的夹角为?，此时cos?=
?3=
12.
0≤?≤?,∴?=.
12故a2b的最小值为
一、填空题
，此时向量a与b的夹角为
?3.
1.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA2OB=OB2 OC=OC2OA，则点O是△ABC的 心. 答案 垂
2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a2b+b2b的值为 . 答案 5
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a2b=2,则a与b的夹角为 . 答案
?3
4.若a与b-c都是非零向量，则“a2b=a2c”是“a⊥（b-c）”的 条件. 答案 充要
5.已知a，b是非零向量，且满足（a-2b）⊥a，（b-2a）⊥b，则a与b的夹角是 . 答案
?3
6.（20092成化高级中学高三期中）已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a2(b+c)= . 答案 ?35
7.（20082天津理，14）如图所示，在平行四边形ABCD中， ，BD=（-3，2），则AD2AC= . AC=（1，2）答案 3
8.（20082 江西理，13）直角坐标平面内三点A（1，2）、B（3，-2）、C（9，F为线段BC的三等分点，则AE2AF= . 答案 22 二、解答题
9.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：（a-b）⊥c;
(2)若|ka+b+c|＞1 (k∈R)，求k的取值范围.
7），若E、
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（1）证明 ∵（a-b）2c=a2c-b2c
=|a|2|c|2cos120°-|b|2|c|2cos120°=0, ∴（a-b）⊥c.
（2）解 |ka+b+c|＞1?|ka+b+c|＞1, ??k2a2+b2+c2+2ka2b+2ka2c+2b2c＞1. ∵|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c的夹角均为120°, ∴a=b=c=1，a2b=b2c=a2c=-2
2
2
2
12，
∴k2+1-2k＞1,即k2-2k＞0,∴k＞2或k＜0. 10.已知a=?sin??4?3,cos4??2?2???,cos?,b???sin?,且?3?33??∈?0,?.
3?????（1）求
a·ba?b的最值；
（2）若|ka+b|=3|a-kb| (k∈R),求k的取值范围. 解 （1）a2b=-sin
4?32sin
2?3+cos
4?32cos
2?3=cos2?，
|a+b|2=|a|2+|b|2+2a2b=2+2cos2?=4cos2?. ∵?∈?0,?，∴cos?∈?,1?，∴|a+b|=2cos?. ?3??2?∴
a·ba?b????1?=
cos2?2cos?=cos?-??12cos?.
令t=cos?,则∴t-1212≤t≤1,?t??1???1?1?′=1+22t?2t＞0,
12t在t∈?，1?上为增函数.
212t∴-≤t-≤
12，
122
即所求式子的最大值为，最小值为-2
12.
（2）由题设可得|ka+b|=3|a-kb|, ∴(ka+b)2=3(a-kb)2
又|a|=|b|=1,a2b=cos2?，∴cos2?=由?∈?0,?，得-≤cos2?≤1.
2?3?∴-121?k4k2.
???1≤
1?k4k2≤1.解得k∈［2-3，2+3］?{-1}.
11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60°，得m2n=
12.
22n?n=7. 则有|a|=|2m+n|=(2m?n)2=4m?4m·22|b|=(2n?3m)2=4n?12m?n?9m=7.
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而a2b=（2m+n）2（2n-3m）=m2n-6m2+2n2=-设a与b的夹角为?，
a·ba·b???7271272，
则cos?===-.故a，b夹角为120°.
3x?xx???,b??cos，sin?2?22??12.已知向量a=?cos求实数?的值.
3x2，?sin,x∈?0，?.若函数f(x)=a2b-?|a+b|的最小值为-，
222?????13解 ∵|a|=1，|b|=1，x∈?0，?，
2?????∴a2b=cos
3x2cos
x2-sin
3x2sin
x2=cos2x，
|a+b|=(a?b)2=a2?2a?b?b2 =2?2cos2x=2cosx=2cosx.
∴f（x）=cos2x-?cosx=2cos2x-?cosx-1
???=2?cosx??4??2 -
?28-1，cosx∈［0，1］.
①当?＜0时，取cosx=0,此时f(x)取得最小值， 并且f(x)min=-1≠-32,不合题意.
?4②当0≤?≤4时，取cosx=此时f(x）取得最小值， 并且f(x)min=-?2,
8-1=-
32,解得?=2.
③当?＞4时，取cosx=1,此时f(x)取得最小值， 并且f(x)min=1-?=-解得?=
5232,
,不符合?＞4舍去,∴?=2.
§5.4 正弦定理和余弦定理
1.（20082陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则 a= . 答案 2
2.（20082福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B
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的值为 . 答案
?3或
2?3
3.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解 答案 ①③④
4.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 . 答案 103
5.（20082浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= . 答案
例1 在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c. 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=
asinBb33
=
3sin45?2 =
32,
则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=
bsinCsinB=
2sin75?sin45?=
2sin(45??30?)sin45?=
6?22.
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=
bsinCsinB=
2sin15?sin45?=
2sin(45??30?)sin45?6?2=
26?22.
故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=A=120°,C=15°,c=
6?22或
.
cosBcosC
例2 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；
（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.
a2=-
b2a?c.
解 （1）由余弦定理知：cosB=
a2?c2?b22ac，
cosC=
?b2?c22ab.
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