代入数据,解得v=6.9 m/s??
(3)设运动员离开滑板b后,滑板b的速度为v3,有? Mv2+mv3=(M+m)v1?
可算出v3=-3 m/s,有|v3|=3 m/s＜v1=6 m/s,b板将在两个平台之间来回运动,机械能不变.?
系统的机械能改变为? ?ΔE=
1212
(M+m)vG+mv3-(m+m+M)gh? 22故ΔE=88.75 J
7.（07重庆理综25）某兴趣小组设计了一种实验装置,用来研究碰撞问题,其模型如
右图所示.用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平
杆,球间有微小间隔,从左到右,球的编号依次为1、2、3??.N,球的质量依次递减, 每个球的质量与其相邻左球质量之比为k(k＜1).将1号球向左拉起,然后由静止释放,使
其与2号球碰撞,2号球再与3号球碰撞??所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力,忽略绳的伸长,g取10 m/s)?
(1)设与n+1号球碰撞前,n号球的速度为vn,求n+1号球碰撞后的速度.?
(2)若N=5,在1号球向左拉高h的情况下,要使5号球碰撞后升高16h(16h小于绳长),问k值为多少？?
(3)在第(2)问的条件下,悬挂哪个球的绳最容易断,为什么？? 答案 (1)
2
2vn (2)0.414 (3)悬挂1号球的绳最容易断,原因见解 1?k解析 (1)设n号球质量为mn,n+1号球质量为mn+1,碰撞后的速度分别为v n′、vn+1′,取水平向右为正方向,据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0,且mn+1=kmn?
根据动量守恒定律,有mnvn=mnvn′n+kmnv n+1′ 根据机械能守恒定律,有
①?
121212
mnvn=mnv n′+kmnv n+1′222
②?
由①②得v n+1′=
2vn(v n+1′=0舍去)? k?1设n+1号球与n+2号球碰前的速度为vn+1?? 据题意有vn+1=v n+1′ 得vn+1=v n+1′=
2vn 1?k ③?
(2)设1号球摆至最低点时的速度为v1,由机械能守恒定律有? m1gh=
12
m1v12
④?
⑤?
解得v1=2gh
同理可求5号球碰后瞬间的速度? v5=2g?16h
⑥?
由③式得vn+1=
2vn2n
?()v1
1?k1?k24
）v1
1?k
⑦?
N=n+1=5时,v5=（
⑧?
由⑤⑥⑧三式得?
k=2-1≈0.414(k=-2-1舍去)
⑨?
(3)设绳长为l,每个球在最低点时,细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有?
vF-mng=mnnl2
⑩?
12mnvn2v则F=mng+mnn=mng+22=mng+Ekn
lll2
?式中Ekn为n号球在最低点的动能?
由题意可知1号球的重力最大,又由机械能守恒定律可知1号球在最低点碰前的动能也最大,根据式可判断在1号球碰撞前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大,故悬挂1号球的绳最容易断.?
8.（07广东17）如图所示,在同一竖直平面上,质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部,斜面高度为H=2L.小球受到弹簧的弹性力作用后,沿斜面向上运动.离开斜面后,达到最高
点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞,碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度,球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点,O点的投影O′与P的距离为L/2.已知球B质量为m,悬绳长L,视两球为质点,重力加速度为g,不计空气阻力.求:
(1)球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小. (2)球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小. (3)弹簧的弹力对球A所做的功. 答案 (1) 2gL (2)
342gL (3)
57mgL 8解析 (1)设碰撞后的一瞬间,球B的速度为vB′,由于球B恰能摆到与悬点O同一高度,根据动能定理?
-mgL=0-
12
mvB′2
①
②
vB′=2gL
(2)球A达到最高点时,只有水平方向速度,与球B发生弹性碰撞,设碰撞前的一瞬间,球A水平速度为vA,碰撞后的一瞬间,球A速度为vA′.球A、B系统碰撞过程由动量守恒和机械能守恒得?
2mvA=2mvA′+mvB′
③? ④?
⑤
121212
×2mvA=×2mvA′+×mvB′2221由②③④解得vA′= 2gL
4及球A在碰撞前的一瞬间的速度大小 vA=
342gl
⑥
(3)碰后球A做平抛运动.设从抛出到落地时间为t,平抛高度为y,则
L=vA′t 212 y=gt2
⑧
⑦
由⑤⑦⑧解得y=L?
以球A为研究对象,弹簧的弹性力所做的功为W,从静止位置运动到最高点?
12
×2mvA257由⑥⑦⑧⑨得W=mgL?
8W-2mg(y+2L)=
⑨
9.（07全国卷I24）如图所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂.现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞.在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°.?
答案 3次
解析 设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn
和Vn.由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等,设速度向左为正,则
mvn-1=MVn-mvn
①
121212
mvn-1=MVn+mvn222
②
由①、②两式及M=19m解得
9vn-1? 101Vn=vn-1
10vn=
③?
④?
第n次碰撞后绝缘球的动能为? En=
12n
mvn=(0.81)E0 2
⑤?
E0为第1次碰撞前的动能,即初始能量.? 绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为?
Emgl(1?cos?)=0.586 ?E0mgl(1?cos?0)式中l为摆长. 根据⑤式,经n次碰撞后
⑥?
Enn
=(0.81)E02
⑦?
易算出(0.81)=0.656,(0.81)=0.531,因此,经过3次碰撞后θ将小于45°.? 10.(07山东理综38)在可控核反应堆中需要给快中子减速,轻水、重水和石墨等常用作减速剂.中子在重水中可与
1H核碰撞减速,在石墨中与6C核碰撞减速.上述碰撞可简化为弹性碰撞模型.某
123
2
反应堆中快中子与静止的
靶核发生对心正碰,通过计算说明,仅从一次碰撞考虑,用重水和石墨作减速剂,哪种减速效果更好？?
答案 见解析
解析 设中子质量为mn,靶核质量为m,由动量守恒定律：? mnv0=mnv1+mv2? 由能量守恒：
121212
mnv0=mnv1+mv2? 222 解得：v1=
mn?mv0?
mn?m 在重水中靶核质量：mH=2mn， v1H=
1mn?mHv0=-v0 mn?m3 在石墨中靶核质量：mC=12mn, v1C=
mn?mc11v0??v0
mn?mc13 与重水靶核碰后中子速度较小,故重水减速效果更好.?
题组二
一、选择题
1.（06全国卷I 20）一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳,经Δt时间,身体伸直并刚好离开地面,速度为v.在此过程中
（ ）
?A.地面对他的冲量为mv+mgΔt,地面对他做的功为
12
mv?? 2?B.地面对他的冲量为mv+mgΔt,地面对他做的功为零? ? C.地面对他的冲量为mv,地面对他做的功为
12
mv? 2D.地面对他的冲量为mv-mgΔt,地面对他做的功为零 答案 B?
解析 设地面对运动员的作用力为F,则由动量定理得：(F-mg)Δt=mv,故FΔt=mv+mgΔt；运动员从下蹲状态到身体刚好伸直离开地面,地面对运动员做功为零,这是因为地面对人的作用力沿力的方向没有位移.