(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度.
答案 (1)β=3 (2)A:v1=-向竖直向下
(3)A:V1=-2gR, B:V2=0.当n为奇数时,小球A、B第n次碰撞结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同.
当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.
解析 (1)由mgR=
11gR,方向向左;B:v2=gR,方向向右；4.5 mg,方22mgR?mgR+得β=3?
44(2)设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2,则?
12mgRmv1= 2412?mgRβmv2=? 24设向右为正、向左为负,得? v1=-
1gR,方向向左? 21gR,方向向右? 2v2=
设轨道对B球的支持力为N,B球对轨道的压力为N′,方向竖直向上为正、向下为负，
v则N-βmg=βm2
RN′=-N=-4.5 mg,方向竖直向下
(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2,则
?- mv1-βmv2=mV1+βmV2???1122? ?mgR= 2mV1+ 2βmV2?2解得V1=- 2gR,V2=0?
(另一组解:V1=-v1,V2=-v2不合题意,舍去)? 由此可得:?
当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.?
10.（05天津理综24）如图所示，质量mA为4.0 kg的木板A放在水平面C上， 木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量mB为1.0 kg的 小物块B（视为质点），它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能EKA为8.0 J，小物块的动能EKB为0.50 J，重力加速度取10 m/s，求：
（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度v0；? （2）木板的长度L.?
答案 （1）3.0 m/s (2)0.50 m? 解析（1）设水平向右为正方向，有?
2
I=mAv0
①
代入数据解得 v0=3.0 m/s
②
(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为vA和vB，有
-（FBA+FCA）t=mAvA-mAv0 FABt=mBvB 其中FAB=FBA FCA=μ（mA+mb）g
⑤
③ ④?
设A、B相对于C的位移大小分别为SA和SB, 有-（FBA+FCA）SA=FABSB=EKB
1212
mAvA-mAv022
⑥?
⑦
动量与动能之间的关系为? mAvA=2mAEKA mBvB=
⑧
2mAEKA
⑨?
木板A的长度 L=sA-sB
⑩?
代入数据解得? L=0.50 m
11.（05全国理综Ⅱ25）如图所示,一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水
平位置）从A点由静止出发绕O点下摆,当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将 男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水 平距离s.已知男演员质量m1和女演员质量m2之比为R,C点比O点低5R.? 答案 8 R
解析 设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0,由机械能守恒定律得 （m1+m2)gR=
m1=2,秋千的质量不计,秋千的摆长m212
(m1+m2)v02
①?
设刚分离时男演员速度大小为v1,方向与v0相同;女演员速度大小为v2,方向与v0相反,由动量守恒得(m1+m2)v0=m1v1-m2v2
②?
分离后,男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t,根据题给条件,由运动学规律?
4R=
12
gt2
③?
s=v1t ④?
分离后,女演员恰回到A点,由机械能守恒定律? m2gR=
12
m2v22
⑤? ⑥? ⑦?
已知m1=2m2
由以上各式得：s=8 R
12.（2005江苏18）如图所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上,现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直,小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长.求：?
（1）当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度；
（2）当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度；? （3）运动过程中小球A的最大动能EkA和此时两根绳的夹角θ； （4）当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小.?
v11答案 （1）v0 (2)-v0 (3)90° (4)m0?
33L解析 （1）设小球A、C第一次相碰时,小球B的速度为vB,考虑到对称性及绳的不可伸长特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为vB.由动量守恒定律,得mv0=3mvB
由此解得vB=
21v0? 3（2）当三个小球再次处在同一直线上时,则由动量守恒定律和机械能守恒定律,得? mv0=mvB+2mvA
121212
mv0=mvB+2×mvA 22212解得vB=-v0,vA=v0(三球再次处于同一直线)?
33vB=v0,vA=0（初始状态,舍去）
所以三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度为? vB=-
1v0（负号表明与初速度方向相反）? 3（3）当小球A的动能最大时,小球B的速度为零.设此时小球A、C的速度大小为u,两根绳间夹角为θ,则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律,得：
? 21212
mv0=2×mu? 2212
另外,EkA=mu
2mv0=2musin
由此解得,小球A的最大动能为：? EkA=
12
mv0? 4此时两根绳间夹角为θ=90°?
（4）小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动,当三个小球处在同一直线上时,以小球B为参考系（小球B的加速度为零,为惯性参考系）,小球A、C相对小球B的速度均为：?
v=|vA-vB|=v0?
v2v0所以,此时绳中拉力大小为：F=m=m?
LL2
题组三
1.(05广东18) 如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置 于水平地面上，它们的间距s=2.88 m.质量为2m、大小可忽略的物
块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力.开始时，三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右，大小为
2mg的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞5后粘连在一起.要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？?
答案 0.3 m?
解析 设A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2
?
∵μ1=0.22,μ2=0.10?
2mg＜f1=2μ1mg? 52且F=mg＞f2=μ2(2m+m)g?
5∴F=
∴一开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动，有? （F-f2）·s=
12
(2m+m)v1 2A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：
mv1=(m+m)v2
碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为x1，选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则?
2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3?
设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3，对A、B系统，由动能定理? f1·s1-f3·s1=
1212
·2mv3-·2mv2? 22f3=μ2(2m+m+m)g? 对C物体，由动能定理? F·（2l+x1）-f1·(2l+x1)=
1212
·2mv3-·2mv1?
2 2由以上各式、再代入数据可得l=0.3 m