2004—2010
年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
设AB=a，则PA=3a， AO?
12AC?a. 22因Rt△ADE~Rt△PDA，故
AD2ED??PD
a2a?(3a)22?a10,
1aED?.2210从而在Rt?AHO中OH?sinHAO?
OHa215????. AO2102a201020．（本小题12分）
解：（I）f?(x)?3x?2(1?a)x?a.
2令f?(x)?0得方程3x2?2(1?a)x?a?0.因??4(a2?a?1)?4a?0,故方程有两个不同实根x1,x2 不妨设x1?x2,由f?(x)?3(x?x1)(x?x2)可判断f?(x)的符号如下:
当x?x1时,f?(x)?0;当x1?x?x2时,f?(x)?0;当x?x2时,f?(x)?0因此x1是极大值点，x2是极小值点.
（II）因f(x1)?f(x2)?0,故得不等式
32x13?x2?(1?a)(x12?x2)?a(x1?x2)?0.
即(x1?x2)[(x1?x2)?3x1x2]?(1?a)[(x1?x2)?2x1x2]?a(x1?x2)?0.22
又由（I）知
2?x?x?(1?a),2??13 ??xx?a.12?3?代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
2a2?5a?2?0. 解不等式得1 (舍去)2因此,当a?2时,不等式f(x1)?f(x2)?0成立.a?2或a?第6页 共78页
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21．（本小题12分）
解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：ky?x?2p.
?ky?x?2p,又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足?2
?y?2px.消去x得 y?2pky?4p?0
22
由此得 ??yA?yB?2pk,?yAyB??4p.2
?xA?xB?4p?k(yA?yB)?(4?2k2)p,? ?(yAyB)22?4p?xAxB?2(2p)?因此OA?OB?xAxB?yAyB?0,即OA?OB. 故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，故
xA?xB?x??(2?k2)p,H??2 ??y?yA?yB?kp.B?2?由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|?22xH?yH?k4?5k2?4p.
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 此时，直线AB的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p
?ky?x?2p,又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足?2
?y?2px.22??y?2pky?4p?0,分别消去x，y得?2 22?x?2p(k?2)x?4p?0.?
故得A、B所在圆的方程x?y?2p(k?2)x?2pky?0. 明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上， 又知A、B中点H的坐标为(222xA?xByA?yB,)?((2?k2)p,kp), 22第7页 共78页
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故 |OH|?(2?k2)2p2?k2p2
22222222而前面圆的方程可表示为[x?(2?k)p]?(y?pk)?(2?k)p?kp 故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 又R?|OH|?(k?5k?4)p，
故当k=0时，R最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上 又直径|AB|=(xA?xB)?(yA?yB)
222
22422??2222xA?xB?yA?yB22xA?xB?2pxA?2pxB
?2xAxB?4p?xAxB?4p.
上式当xA?xB时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.
此时直线AB的方程为x=2p.
22．（本小题14分）
（I）证法一：当n?1时,a1?2?2?1?1,不等式成立.
假设n?k时,ak?2k?1成立.当n?k?1时,
22ak?1?ak? 11?2?2k?3??2(k?1)?1.22akak?n?k?1时,ak?1?2(k?1)?1时成立.
综上由数学归纳法可知，an?证法二：当n=1时，a1?2?假设n=k时结论成立，即 ak?当n?k?1时,由函数f(x)?x?ak?1?ak?1?ak2k?1?12n?1对一切正整数成立. 3?2?1?1.结论成立.
2k?1.
1(x?1)的单增性和归纳假设有 x.2k?3.12k?1?
因此只需证:2k?1?
而这等价于(2k?1?2k?111)2?2k?3??0显然成立.2k?12k?1第8页 共78页
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所以当n=k+1时，结论成立. 因此，an?2n?1对一切正整数n均成立.
22
证法三：由递推公式得 an?an?1?2?12an?1, 1 2a111????22?2(n?1) 22a1an?1
22an?1?an?2?2?12an?2,?2a2?a12?2?
上述各式相加并化简得 an?a1?2(n?1)?22?2n?2?2n?1(n?2).
又n?1时,an?2n?1明显成立,故 an?2n?1(n?1,2,?). （II）解法一：
bn?1an1n1n?n?1?(1?2)?(1?) bn2n?1n?1anann?1n?12n(n?1)??? (2n?1)n?12n?12(n?1)n故bn?1?bn.
解法二：bn?1?bn?11(n?)2?24?1. 1n?2an?1n?1?ann?1n?1(an?a1)?n ann???
1n(n?1)an1n(n?1)an2[n?(n?1?n)an][n?(n?1?n)(2n?1)](由(I )的结论)1[n(n?1?n)?(2n?1)][n(n?1)?(n?1)]
n(n?1)(n?1?n)an1n(n?1)(n?1?n)an1n(n?1?n)an???0.(n?n?1)所以bn?1?bn.第9页 共78页
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解法三：b2n?122anan?1 ?b??n?1n2n2an112?(an?2?2)?n?1nan211an?(2?2?)nan n?1
112n?1?(2??)n?12n?1n111?(?)?0n?12n?1n
故bn?1?bn,因此bn?1?bn.
22
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