2004—2010
年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
20已知函数f(x)?axlnx?bx?c(x?0)在x?1处取得极值?3?a，其中a、b为常数. （Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调区间；
21已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1?1，且
（Ⅲ）若对任意x?0，不等式f(x)??2c恒成立，求c的取值范围.
2446Sn?(an?1)(an?2),n?N?.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足an(2和，求证：3Tn?1?log2(an?3),n?N?.
22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x?12. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P使?P证明： 1、P2、P3，1FP2??P2FP3??P3FP1，
bn?1)?1，并记Tn为{bn}的前n项
111??为定值，并求此定值. |FP1||FP2||FP3|P2 y P1 O F P3 l
一、选择题ADCBA 二、填空题：11、
x CBBDC
13、[?1,0] 14、18
15、25 16、
4 12、7 583 3三、解答题：17、解：（Ⅰ）f(x)?6?1?cos2x?3sin2x?3cos2x?3sin2x?3 2
?23(31?cos2x?sin2x)?3?23cos(2x?)?3 226第31页 共78页
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故f(x)的最大值为23?3； 最小正周期T?2???. 2（Ⅱ）由f(?)?3?23得23cos(2??
又由0????6)?3?3?23，故cos(2???6)??1.
?2得
?6?2???3.
?6????6，故2???6??，解得??5?. 12从而tan??tan45?318、解：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k?1,2,3.
由题意知A1,A2,A3独立，且P(A1)?111,P(A2)?,P(A3)?. 91011（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
891031?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1????.
9101111（Ⅱ）?的所有可能值为0,9000,18000,27000.
P(??0)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?89108???, 9101111P(??9000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?1910811089124211， ??????????91011910119101199045P(??18000)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?1110191811273， ??????????9101191011910119901101111P(??27000)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)????.
91011990
9000 18000 27000 综上知，?的分布列为
? P
0 8 1111 453 1101 990求?的期望有两种解法： 解法一：由?的分布列得
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???0?81131?9000??18000??27000?1145110990?29900?2718.1811（元）
解法二：设?k表示第k辆车一年内的获赔金额，k?1,2,3， 则?1有分布列
?1 P
故??1?9000?0 9000 8 91 91?1000. 911同理得??2?9000??900,??3?9000??818.18.
1011综上有
?????1???2???3?1000?900?818.18?2718.18（元）.
19、解法一：（Ⅰ）因B1C1?A1B1，且B1C1?BB1，故B1C1?面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.
设BD的长度为x，则四棱椎C?ABDA1的体积V1为
111V1?SABDA1?BC?(DB?A1A)?AB?BC?(x?2)?BC.
366而
直
三
棱
柱
ABC?A1B1C1的体积
V2为
V2?S?ABC?AA1?
1AB?BC?AA1?BC. 2138由已知条件V1:V2?3:5，故(x?2)?，解得x?. A1 65582从而B1D?B1B?DB?2??.
55又直角三角形A1B1D中，
C1 B1 F E D
A1D?2292A1B1?B1D2?1?()2?,
55A B C C
又因S?A1B1D?故B1E?11A1D?B1E?A1B1?B1D. 22A1B1?B1D229. ?A1D29第33页 共78页
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（Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D， 故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.
在直角?C1B1D中，C1D?又因S?C1B1D?2362， B1C1?B1D2?2?()2?55
11C1D?B1F?B1C1?B1D，故 22
B1F?B1C1?B1D23AB33?，所以tanA1FB1?11?.
C1D9B1F2
20、解：（Ⅰ）由题意知f(1)??3?c，因此b?c??3?c，从而b??3.
又对f(x)求导得f/(x)?4ax3lnx?ax4?/1?4bx3?x3(4alnx?a?4b). x由题意f(1)?0，因此a?4b?0，解得a?12.
/3/（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?48xlnx(x?0).令f(x)?0，解得x?1.
当0?x?1时，f(x)?0，此时f(x)为减函数； 当x?1时，f(x)?0，此时f(x)为增函数.
因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1,??).
/（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，此极小值也是最小值.
要使f(x)??2c(x?0)恒成立，只需?3?c??2c. 即2c?c?3?0，从而(2c?3)(c?1)?0. 解得c?2223或c??1. 23所以c的取值范围为(??,?1]?[,??)
221、（Ⅰ）解：由a1?S1?因此a1?2.又由an?11解得a1?1或a1?2.由假设a1?S1?1，(a1?1)(a1?2)，
611?Sn?1?Sn?(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)，得
66
(an?1?an)(an?1?an?3)?0，即an?1?an?3?0或an?1??an.
因an?0，故an?1??an不成立，舍去.
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因此an?1?an?3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为
an?3n?1.
bn（Ⅱ）证法一：由an(2?1)?1可解得bn?log2(1?13n )?log2an3n?1
363n???). 253n?1363n32因此3Tn?1?log2(an?3)?log2[(????)?].
253n?13n?2363n32令f(n)?(????，则 )?253n?13n?2从而Tn5?b1?b2???bn?log2(?
f(n?1)3n?23n?33(3n?3)3??()?.
f(n)3n?53n?2(3n?5)(3n?2)2因(3n?3)?(3n?5)(3n?2)?9n?7?0，故f(n?1)?f(n). 特别地f(n)?f(1)?32
27?1，从而3Tn?1?log2(an?3)?log2f(n)?0， 20即3Tn?1?log2(an?3).
证法二：同证法一求得bn及Tn.
由二项式定理知，当c?0时，不等式(1?c)?1?3c成立. 由此不等式有3Tn?1?log22(1?)3(1?)3?(1?313) 3n?1331583n?2?log22(1?)(1?)?(1?)?log2(2?????)?log2(3n?2)?log2(an?3)253n?1253n?1证法三：同证法一求得bn及Tn.
1215
363n473n?1583n?2. ????,Bn?????,Cn?????253n?1363n473n?13n3n?13n?23n?23因，因此An?AnBnCn?. ??3n?13n3n?12令An?
从而
363n333Tn?1?log22(????)?log22An?log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)
253n?1
证法四：同证法一求得bn及Tn.
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