2004—2010
年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=4?x， 作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·sin2?3?3. 2在△BEB1中，由面积关系得
113x4?x2??2?,即(x2?1)(x2?3)?0. 222解之得x??1,x??3（负根舍去）
当x?3时,在?BCE中,CE2?12?2CE?cos?3?3,
解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去x?3.
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内， 又已知AE⊥EB1
故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角. 因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故tanAEG?解法二：
（Ⅰ）由AE?EB1,得AE?EB1?0,又由AB?平面 而BB1C1C得AB⊥EB1从而AB?EB1=0.
BE12??. AB22故EB?EB1?(EA?AB)?EB1?EA?EB1?AB?EB1?0即EB?EB1,故线段BE是异面直线AB与EB1的公垂线.
设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=因为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=所以OC1=OB1=1，
又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=??
1BB1=OB1=1， 2?，故△OB1C1是正三角形， 323?3??3,故△OC1E是正三角形，
所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1， 即异面直线AB与EB1的距离是1.
（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=2，
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BE=1，得tanAEB=2.
又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C， 故二面角A—EB1—A1的平面角???2??AEB，故
?2tan??tan(??AEB)?cotAEB?.
22解法三：
（I）以B为原点，BB1、BA分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1，BB1=2，AB=2，∠BCC1=在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，2），B1（0，2，0），
?， 3 C(3133,?,0),C1(,,0) 2222
设E(3,a,0),由EA?EB1,得EA?EB1?0,即 233,?a,2)?(?,2?a,0) 22
0?(??33?a(a?2)?a2?2a?, 44131331得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),故E(,,0)222222
313333BE?EB1?(,,0)?(???0)????0,即BE?EB1.222244又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线， 则|BE|?31??1，故异面直线AB、EB1的距离为1. 44（II）由已知有EA?EB1,B1A1?EB1,故二面角A—EB1—A1的平面角?的大小为向量
B1A1与EA的夹角.
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年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
因B1A1?BA?(0,0,2),EA?(?故cos??即tan??EA?B1A1|EA||B1A1|2.2?23,31,?,2),22
21．（本小题12分）
22xy解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为?，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1. ?1a2b2x2?y2?1. 故C2的方程为3x2?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. （II）将y?kx?2代入4由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,
即 k2?1. ① 4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.
3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
2??1?3k?0,?222???2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.
1即k2?且k2?1.3设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?62k?9,x?x?AB1?3k21?3k2
由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k?1)?2?962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?.3k2?1第18页 共78页
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3k2?715k2?13于是2?6,即?0.解此不等式得 23k?13k?1k2?131或k2?. ③ 153由①、②、③得
1113?k2?或?k2?1. 4315故k的取值范围为(?1,?22．（本小题12分）
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，a2?2?2，不等式成立. （2）假设当n?k(k?2)时不等式成立，即ak?2(k?2),
那么ak?1?(1?13311313)?(?,?)?(,)?(,1) 1532231511)ak?k?2. 这就是说，当n?k?1时不等式成立.
k(k?1)2根据（1）、（2）可知：ak?2对所有n?2成立. （Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有 an?1?(1?两边取对数并利用已知不等式得 lnan?11111)a??(1??)an.(n?1) n2n2nn?n2n?n211?ln(1?2?n)?lnan
n?n2?lnan?1111 故 (n?1). lna?lna???.n?1nn2nn(n?1)2n?n2上式从1到n?1求和可得
lnan?lna1?111111??????2???n?1 1?22?3(n?1)n2221n111111112?1??(?)???????1??1?n?2. 1223n?1n2n21?21?2即lnan?2,故an?e(n?1).
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证2?n(n?1)对n?2成立，故
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an?1?(1?1111)a??(1?a?nnn(n?1)n(n?1)n2?n2n(n?2),则bn?1?(1?1)bnn(n?1)(n?2).
令bn?an?1(n?2).
取对数并利用已知不等式得 lnbn?1?ln(1?1)?lnbn
n(n?1)?lnbn?1n(n?1)(n?2).
111 ????1?22?3n(n?1)上式从2到n求和得 lnbn?1?lnb2??1?11111???????1. 223n?1n(n?2).
因b2?a2?1?3.故lnbn?1?1?ln3,bn?1?e1?ln3?3e故an?1?3e?1?e2,n?2,又显然a1?e2,a2?e2,故an?e2对一切n?1成立.
2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)= (A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 （A）48 (B)54 (C)60 (D)66
5=0相切的直线的方程为 211（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x
3311（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x
33(3)过坐标原点且与x｜y4x｜2y+
22
(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
(A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
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