∴此次测试总人数为
7?50(人). ??2分 0.14∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．???4分 （2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等， ??6分
而前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内. ??8分 （3）设成绩优秀的9人分别为a,b,c,d,e,f,g,h,k, 则从中任意选出2人所有可能的情况为：
ab,ac,ad,ae,af,ag,ah,ak;bc,bd,be,bf,bg,bh,bk;cd,ce,cf,cg,ch,ck;
de,df,dg,dh,dk;ef,eg,eh,ek;fg,fh,fk;gh,gk;hk，共36种 ??10分 其中a、b至少有1人入选的情况有15种， ??12分
155?.????13分 ∴a、b两人至少有1人入选的概率为P?3612?17、（13分）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中， ?ABC?90，AB?4，BC?4，BB1?3，M、
N分别是B1C1和AC的中点．
（1）求异面直线AB1与C1N所成的角的余弦； （2）求三棱锥M?C1CN的体积．
解：（1）过A作AQ∥C1N交AC11于Q，连结B1Q，
?∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角（或其补角）．??2分
根据四边形AA1C1C为矩形，N是中点，可知Q为AC11中点 计算AB1?5,B1Q?22,AQ?17 ??3分 由已知条件和余弦定理 可得cos?B1AQ?A1QB1MC1H17 ??5分 5ABC?异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为17 ?6分
5N（2）方法一：过M作MH?A1C1于H，面A1B1C1?面AA1C1C于A1C1
?MH?面AA1C1C ??9分
由条件易得：MH?2 ??11分
1111VM?NCC1 ??NC?C1C?MH???22?3?2?2 ??13分
3232
6
方法二：取BC的中点P，连结MP、NP，则MP∥BB1
B1MC1?MP? 平面ABC， ??9分
又NP?平面ABC，?MP?NP 又∵NP//AB, ∴NP?BC ∴NP?平面BCC1B1 ??11分
A1BPCN1AB?2, 21111VM?NCC1?VN?C1CM??MC1?C1C?NP???2?3?2?2??13分
3232 PN?Ax2y218、（14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶点A为抛物线y2?8x的焦点，上顶点为B，
ab离心率为
3 2（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点，若线段PQ的中点横坐标是
?42，求直线l的方程 5????2分
2解：（1）抛物线y?8x的焦点为A(2,0)，依题意可知a?2
因为离心率e?222c3?，所以c?3 ????3分 a2
2y故b?a?c?1
????5分
P
????6分 MQx所以椭圆C的方程为：
x?y2?1 4（2）设直线l:y?kx?2
??y?kx?2由?，
22??x?4y?4消去y可得(4k2?1)x2?82kx?4?0 ??8分 因为直线l与椭圆C相交于P,Q两点， 所以??128k?16(4k?1)?0
7
22
解得|k|?1 2 ????9分
又 x1?x2??82k4 ,xx?124k2?14k2?1 ??10分
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，PQ中点M(x0,y0) 因为线段PQ的中点横坐标是?42 5所以x0?x1?x2?42k42 ??12分 ?2??24k?151 ??13分 4解得k?1或k?因为|k|?1，所以k?1 2
????14分
因此所求直线l:y?x?2
19、（14分）已知f(x)?3x2?x?m,(x?R),g(x)?lnx
（1）若函数 f(x)与 g(x)的图像在 x?x0处的切线平行，求x0的值； （2）求当曲线y?f(x)与y?g(x)有公共切线时，实数m的取值范围；并求此时函数
?1?F(x)?f(x)?g(x)在区间?,1?上的最值（用m表示）。
?3?/解：（1）∵f(x)?6x?1，g(x)?/1 ??2分 x0mx12，即6x0?x0?1?0 ??3分 x011解得，x0?或x0?? ??4分
231∵x0?0，∴x0? ??5分
2（2）若曲线y?f(x)与y?g(x)相切
由题意知6x0?1?且在交点处有公共切线
1， ??6分 211311∴f()?g()，∴??m?ln
22422由（1）得切点横坐标为
m??1?ln2， ??8分 4 8
1?ln2时，f?x?与g(x)有公共切线 ??9分 416x2?x?1(3x?1)(2x?1)?又F'(x)?6x?1?? ??10分
xxx?1?则F'(x)与F(x)在区间?,1?的变化如下表：
?3?由数形结合可知，m??x F'(x) F(x) 1311[,) 32－ ↘ 1 20 极小值 1(,1] 2＋ ↗
??12分
?1??3?111?1?l2） ∴当x??,1?时，F(x)min?F()?m??ln2，（m???n424?3?1l2） ??14分 （m???nF(x)max?F(1)?m?2，
4又?F()?m+ln3 F(1)?2?m?F?? 20、（14分）已知数列?an2*?是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足
1,n?N*， Tn为数列?bn?的前n项和．
an?an?1an?S2n?1,n?N．数列?bn?满足bn?（1）求数列?an?的通项公式an和数列?bn?的前n项和Tn；
n（2）若对任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求实数?的取值范围；
（3）是否存在正整数m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m,n的值；若不存在，请说明理由．
2解：（1）在an?S2n?1中，令n?1，n?2，
22???a1?S1,?a1?a1, 即? ??1分 得?22???(a1?d)?3a1?3d,?a2?S3,解得a1?1，d?2，?an?2n?1 ??2分
2?S2n?1，?an?2n?1 又?an?2n?1时，Sn?n2满足an?bn?11111??(?)， ??3分 anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1?Tn?
111111n(1???????)?． ??4分 23352n?12n?12n?19
（2）①当n为偶数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，即需不等式
n(n?8)(2n?1)8?2n??17恒成立． ??5分
nn8 ?2n??8，等号在n?2时取得．
n?此时? 需满足??25 ??6分
??②当n为奇数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，即需不等式
n(n?8)(2n?1)8?2n??15恒成立． ??7分
nn88 ?2n?是随n的增大而增大， ?n?1时2n?取得最小值?6．
nn?此时? 需满足???21． ??8分
??综合①、②可得?的取值范围是???21． ??9分 （3）T1?1mn,Tm?,Tn?， 32m?12n?1m21n)?()，??10分 2m?132n?1 若T1,Tm,Tn成等比数列，则(m2n?即．
4m2?4m?16n?33?2m2?4m?1m2n?0， ??12分 由，可得??nm24m2?4m?16n?3即?2m2?4m?1?0，
?1?6?m?1?6． ??13分
22又m?N，且m?1，所以m?2，此时n?12．
Tn?中的T1,Tm,Tn成等比数列． ?14分 因此，当且仅当m?2， n?12时，数列?n11??m21[另解] 因为6n?336，故2?，即2m2?4m?1?0，
6?4m?4m?16n?1?6?m?1?6，（以下同上 ）．
22
2013届高三广东六校第二次联考
（文科）数学试题
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