⑤当x =
14时，过点A作AD⊥BC于点D 5∵BC=10，CO=6，∴OB=102?62?8。 ∴BC×AD= AC×OB，即10 AD=12×8，AD=
9648。 ?105?48?14又∵AB=10，∴BD=10????。
5?5?2214，∴点D与点P重合，点R与点C重合。 5143648∴PR=10－?，QR=AD=。
555486366∴QR：BO=:8?， PR：CO=:6?。∴QR：BO= PR：CO。
5555∵x =BP=
又∵∠PRQ=∠COB=90，∴△PQR∽△CBO。故此选项正确。
故正确的有5条。故选D。
13.（四川南充3分）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是
A、1个
B、2个 C、3个
D、4个
0
BC；CD【答案】D。
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，梯形中位线定理。 【分析】∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°。∴∠ACE=90°。
ACAEBC。 ??ECEDCDACBC①∵tan∠AEC=，∴tan∠AEC=。故本选项正确。
ECCD∵△ABC∽△CDE，∴②设AB=BC= a，ED=CD= b，
∵S△ABC=a，S△CDE=b，S梯形ABDE=（a+b），
2
2
2
∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a+b）≥ab（a=b时取等号）。
22
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∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE。故本选项正确。 ④过点M作MN垂直于BD，垂足为N，
∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，即点N为BD的中点。 ∴△BMD为等腰三角形。∴BM=DM。故本选项正确。 ③又MN=
二、填空题
1.（浙江舟山、嘉兴4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
2CD?CE?AB连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE；③△ODE∽△ADO；④2．其?OE11（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°。即BM⊥DM。故本选项正确。故选D。 22中正确结论的序号是 ▲ ．
【答案】①④。
【考点】相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。
【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可：∵AB是半圆直径，∴AO=OD。∴∠OAD=∠ADO。又∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=∴∠CAD=∠ADO。∴AC∥OD。∴①正确。 ②不能证明CE=OE。∴②错误。
③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明△ODE∽△ADO。∴③错误。
1∠CAB。21CDOC ④要证2CD2=CE?AB，只要CD2=CE?AB，即CD2=CE?OC，只要?。2CECD只要△CED∽△COD即可。
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=
1×45°=22.5°。 2 又∵∠CAD和∠COD是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠COD=45°。 又∵AB是半圆直径，∴OC=OD。∴∠OCD=∠ODC=67.5°。
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣25°=45°， ∴△CED∽△COD。从而得证。∴④正确。
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7
综上所述，①④正确。
2.（江苏苏州3分）如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形， △ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于 点F，则△AEF的面积等于 ▲ （结果保留根号）． 【答案】3?3。 4【考点】相似三角形的性质 等边三角形的性质, 特殊角的三角函数。 【分析】过点C作CG，G是垂足，∵△ABC是等边三角形，∴CG＝3 AB。
213又∵S△ABC＝3，即?AB?AB=3，∴AB＝2。
22又∵AB＝2AD，∴AD＝1。
又∵△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形。
过点F作FH⊥AE，H是垂足，∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠EAF＝45°。 ∴△AFH是等腰直角三角形。
设AH＝FH＝h，在Rt△FHE中∠E＝60°，EH＝1－h，FH＝h， ∴tanE?FHh3133?3?tan600??h??。∴S?AEF??1?。 EH1?h21?341?33.（江苏泰州3分）如图，平面内4条直线l1、l2、 l3、 l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 ▲ 平方单位。
【答案】5或9。
【考点】平行的性质，勾股定理, 正方形面积。
【分析】①A 点在l1定下后，B点由A 点向下平移2个单位到l2后向左平移1个单位得到；C点由B 点向下平移1个单位到l4后向右平移2个单位得到；D点由C 点向上平移1个单位到l3后向左平移2个单位得到。这时得到的四边形ABCD是边长为5个单位长度的正方形，该正方形的边长是
12?22?5，面积是5平方单位。( 如下左图 ）②边长是3的正方形，该正方形的边长面积是9平
方单位。( 如下右图 ）
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决问题
4. （河南省3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 ▲ ． 【答案】3+3。
【考点】直角梯形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质。
【分析】已知AD∥BC，∠ABC=90°，点E是BC边的中点，即AD=BE=CE=3，
∴四边形ABED为矩形，∴∠DEC=90°，∠A=90°。 又∠C=60°，∴DE=CE?tan60°=3×3=3。
又△DEF是等边三角形，∴DF=DE=AB=3，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30° ∴AG=AD? tan 30°=3?3=1。∴DG=2，FG=DF－DG=1，BG=3－1=2。 3∴△AGD≌△GFB（ASA）。∴BF=AD=3， ∴△BFG的周长为2+1+3=3+3。
5.（江西南昌3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE= 【答案】①②③④。
【考点】含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°． ∴∠CAF=30°，∴∠GAF=60°，∴∠AFB=90°，①AF丄BC正确；
：4，其中正确结论的序号是 ▲ ．
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∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°，∴②△ADG≌△ACF正确；
∵△ADG≌△ACF，∴AG=AF，∵AO=AO，∠AGO=∠AFO=90°，∴△AGO≌△AFO，∴∠OAF=30°，∴∠OAC=60°，∴AO=CO=AC，BO=CO=AO，∴③O为BC的中点正确；
假设DG=x，∵∠DAG=30°，∴AG=x，∴GE=3x，∴④AG：DE=3：4正确。 故答案为：①②③④。
?是半径为 6 的⊙D的6.（内蒙古乌兰察布4分）如图，BE1圆周，C点是4?上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范BE围是 ▲
【答案】18?P?18?62。
【考点】动点问题，等边三角形的性质，勾股定理。
【分析】当点C与点B重合时，不构成四边形，此时△ABC的周长是18，则四边形ABCD的周长P都大于它；
当点C与点E重合时（如图），四边形ABCD的周长P最大，根据勾股定理，可得BC＝62，此时四边形ABCD的周长P＝18+62。 因此，四边形ABCD的周长P的取值范围是18?P?18?62。
7.（安徽省5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，CE＝1， DE＝3，则⊙O的半径是 ▲ ． 【答案】5。
C
B E A O
D
【考点】全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】如图，连接OB，OD，BD，AD，由知可以证明BE=CE=1，AE=BE=3。
∴在Rt△BDE中，BD=12?32?10。∵AE=DE，∴∠BAD＝45°。∴∠B0D＝90°。
22222∴在Rt△BOD中，BD=OB?OC?BD?2OB?10?OB?5?OB?5。
三、解答题
用心 爱心 专心 10