的判定和性质。
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等的性质和角平分线定义可证。
（2）利用直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理，经过等量代换可证。 （3）利用相似三角形的判定和性质可求。
13.（广东珠海9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°； 点D是⌒BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且 DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交 于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE． 【答案】解：（1）证明：连结OD．
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE。 又∵DE∥BC，∴OD⊥BC。 ⌒＝ ⌒。∴∠BAD＝∠EAD。 ∴ BDCD ∵DE∥BC，∴∠BCA＝∠DEA。 又∵∠BDA＝∠BCA，∴∠BDA＝∠DEA。 ∴△ABD∽△ADE。
ABAD2
（2）由（1）△ABD∽△ADE得，＝，即AD＝AB·AE 。
ADAE1
设在△ABE中，AE边上的高为h，则：S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．
2 由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形 12
∴S△DAF＝ AD＝AB·AE ． ∴S△DAF＞S△BAE 。
2
【考点】圆切线的性质，平行的性质，等（同）弧所对圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线距离的性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证△ABD∽△ADE，就要证两组对应角对应相等。一方面∠BDA和∠DEA与∠BCA都相等，这是因为∠BDA和∠BCA是同弧AB所对的圆周角，是相等的；∠BDA和∠BCA是两平行直线的同位角，也是相等的，所以∠BDA＝∠DEA。另一方面∠BAD和∠EAD是等弧BD和CD所对的圆周角（可由DE是⊙O的切线证得）。从而得证。
（2）要证S△DAF＞S△BAE，就要找出两个面积构成的线段间的关系。一方面设在△ABE中，AE边上
B D O C E A F
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1122
的高为h，则：S△ABE＝ h·AE ；另一方面S△DAF＝ AD，而由（1）可证得AD＝AB·AE 。从而根据点
22到直线的线段中垂直线段最短的性质即h＜AB得证。
14．（河北省9分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
（4）当
SCE1?时，请直接写出正方形ABCD的值．
S正方形DEFGCBn【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°。
又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA（SAS）。∴DE=DG。 由△DCE≌△GDA得∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，即∠GDE=90°。∴DE⊥DG。 （2）如图．
（3）四边形CEFK为平行四边形。证明如下： 设CK、DE相交于M点，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG。 ∵BK=AG，∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形。∴CK=DG=EF，CK∥DG
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22
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°。∴∠KME+∠DEF=180°。 ∴CK∥EF。
∴四边形CEFK为平行四边形。 （4）
S正方形ABCDS正方形DEFGn2=。 ?2n?1【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，尺规作图。 【分析】（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG。
（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG。 （3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形。 （4）设CE=1，由
CE1?，得CD=CB=n CBn在Rt△CED中，由勾股定理，得DE2?CE2?CD2?1?n2。 ∴
S正方形ABCDS正方形DEFGCD2n2。 ??DE2n2?115.（江西南昌7分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）． （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值． （参考数据：sin60??333 ，cos30??，tan30??.） 223【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵BD是直径，∴BD=4，?DCB?900。 在Rt△DBC中，sin?BDC?BC233， ??BD42 ∴?BDC?60?，∴?BAC??BDC?600。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时
点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，
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1则AB=AC，?BAE??BAC?300。
2 在Rt△ABE中，∵BE?3, ?BAE?300， ∴AE?BE?tan30?1?3。 ∴S△ABC=?23?3?33。
2333 答：△ABC面积的最大值是33。
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BDC的度数，再由圆周角定理即可求解。 （2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。 16.（湖北武汉10分）
（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：
DPPE. =BQQC（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN=DM·EN.
2
【答案】解：（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ。 ∴
DPAP＝。 BQAQ用心 爱心 专心 24
同理在△ACQ中， ∴
EPAP。 ＝CQAQDPEP。 ＝BQCQ（2）①
2。 9②证明：∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90，∴∠B=∠CEF。 又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC。∴又∵DG＝GF＝EF，∴GF＝CF·BG。 由（1）得
22
DGBG。∴DG·EF＝CF·BG ＝CFEFDMMNEN ， ＝＝BGGFCF?MN?DMEN2
? ∴?。 ∴MN＝DM·EN。 ?＝BGCF?GF?【考点】相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，等量代换。
【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出
DPEP。 ＝BQCQ2，根据2（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高
△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长
2。从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边3222上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN。
623②可得出△BGD∽△EFC，则DG?EF=CF?BG；又DG=GF=EF，得GF=CF?BG，再根据（1）
2
DMMNEN，从而得出答案。 ＝＝BGGFCF17.（湖北宜昌8分）如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO=CO，BC∥EF． （1）证明：AB=AC；
（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；
（3）当AB=5，BC=6时，连接BE，若∠ABE=90°，求AE的长． 【答案】解:（1）∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC。
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