在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴AB＝AC。 （2）连接BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO。
又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO。 ∴点O是△ABC外接圆的圆心。 （3）在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=
1BC=3， 2∴AD=AB2?BD2?52?32?4。 ∵∠ABE＝∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠AEB。 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB。
ABADAB25225∴。∴AE=。 ???AD44AEAB【考点】全等三角形的判定，线段中垂线的性质，三角形的外接圆外心的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，从而由SAS证明△ABD≌△ACD，则可证得AB=AC。
（2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB=OC，又由AO=CO，则可得AO=BO=CO，得证。 （3）首先求得AD的长，又由△ABE∽△ADB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的长。 18.（湖北黄冈、鄂州8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA
?上一点，的外角的平分线，F为ADBC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形． （2）求证：AC?AF=DF?FE． 【答案】证明：（1）连接CF、BF，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB， 而∠ACD=∠DFB=∠DAB，∠ACD=∠DBA， ∴∠DAB=∠DBA。 ∴△ABD为等腰三角形。 （2）由（1）知AD=BD，BC=AF，
??BCD?，AF??BC?， 则AFD用心 爱心 专心 26
??DF?，∴CD=DF。 ∴CD又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF。 而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA。 同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE， ∴△CDA∽△FAE，∴
CDAC，即CD?EF=AC?AF。 ?FAEF又由CD=DF有AC?AF=DF?EF。命题即证。
【考点】角的平分线性质，三角形外角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，圆中弧和弦的关系，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可。
（2）由同圆中等弧对等弦的性质，可推出CD=DF；通过角的等量代换，证△CDA∽△FAE，得到
CDAC即可推出结论。 ?FAEF?上任一点（点 19.（湖北孝感10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是ABP不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交的延长线于点M. （1）填空：∠APC=______度，∠BPC=_______度；（2分） （2）求证：△ACM?△BCP；（4分）
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.（4分） 【答案】解：（1）60， 60；
（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°。 ∴∠M=180°－∠BPM－（∠APC＋∠BPC）=180°－120°=60°。 ∴∠M=∠BPC=60。
又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠MAC=∠PBC。 又∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP（AAS）。 （3）∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP AM=BP。
又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形。∴CM=CP=PM=1+2=3。 作PH⊥CM于H，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3，
BOCPAM用心 爱心 专心 27
∴PH=PM?cos?MPH=3?33?3。 2211315∴梯形PBCM的面积为：(PA?CM)?PH?(2?3)?3?3。
2224【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，梯形的面积。
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角。
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可。 （3）利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，从而求得PH的长，利用梯形的
面积公式计算梯形的面积即可。
20.（湖北潜江仙桃天门江汉油田8分）如图，BD是⊙O的直 径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线 交于点E.
（1）求证：△ABD∽△AEB； （2）若AD=1，DE=3，求BD的长.
??AC?。 【答案】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴AB∴∠ABC=∠ADB。
又∠BAE=∠DAB，∴ △ABD∽△AEB。 （2）∵△ABD∽△AEB，∴
ABAD。 ?AEAB2
∵ AD=1， DE=3，∴AE=4。 ∴ AB=AD·AE=1×4=4。∴ AB=2。 ∵ BD是⊙O的直径，∴∠DAB=90°。
在Rt△ABD中，BD=AB＋AD=2＋1=5，∴BD=5。
2
2
2
2
2
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理。
【分析】（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以得出结论。
（2）由（1）的结论就可以求出AB的长度，由勾股定理即可求出BD的长度。
21.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;
( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．
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【答案】解：（1）证明：连结OE，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。 ∵⊙O与边 AC 相切于点E， ∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。
∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。 ∵BD为直径，∴∠BED=90°。 ∵BD=BF，∴DE=EF。 在△DEG和△FEC中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC（AAS）。∴DG=CF。 ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴∴
ADDG。 ?ABBC8CF2，∴CF?20CF?96?0，∴CF?4或CF??24（舍去）。 ?8?12?CF12∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。
22.（四川乐山10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。 题乙：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4.
(1) 求证:AC⊥BD (2) 求△AOB的面积
【答案】解：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，
∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形。
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∵AD=2，BC=BD=3，AC=4， ∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3。 ∴BD+DE=BE。∴∠BDC=90°。 ∴BD⊥DE，∴BD⊥AC。 （2）过点D作DF⊥BC于F，
2
2
2
11BD?DE3?412BE?DF?BD?DE，∴DF??? 22BE55111218∴S?ABC?BC?DF??3??。
2255OAAD2∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB。∴??。
OCBC3221836∴OA：AC=2：5。∴S?AOB:S?ABC?2:5。∴S?AOB?S?ABC???。
55525∵S?DBC?【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，即可证得四边形ACED是平行四边形，则可求得BD，BE，DE的长，由勾股定理得逆定理即可证得BD⊥DE，则可证得BD⊥AC。
（2）作DF⊥BC，由S?DBC?11BE?DF?BD?DE，即可求得DF的值，求得△ABC的面积，22又由△AOD∽△COB，求得OA与OC的比值，根据同高的三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案。 23.(四川德阳14分) 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD，AE． (1)求证：∠C=∠BED； (2)如果AB=10，tan∠BAD=
3，求AC的长； 4 (3)如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积． 【答案】解：(1)证明；∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
又∵OC⊥AD，∴∠OFA=90°。∴∠AOC+∠BAD=90°。∴∠C=∠BAD。 又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED。
33，∴tan∠C=。 44OA15320?，解得AC?在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴。
AC2AC43（2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=
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