由△CME∽△BCE，得∴EB?2EC，∴BE?ECMC1??。 EBCB285。 5【考点】圆周角定理，对顶角的性质，角平分线的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接EC，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等的性质以及已知的AD为
△ABC的角平分线， AD?BE，通过角的等量变换，证得?6??7?90?，而得证。
（2）证得△CME∽△BCE，即可求出BE的长。
29.（甘肃天水10分）某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意的图案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于点F、G，制作如图（2）的图标，请你计算一下图案中阴影图形的面积．
【答案】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE， ∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=1，∠ECB=60°，∠ODC=45°， ∴等边△BCE的高为
3。 21332
∴S△BEC=?1?，S正方形=AB=1。 ?224设GN=x，
∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，∴DN=NG=x，CN=3NG=3x。 ∴x+3x=1，解得：x=3?1。 2113?13?1∴S△CGD=CD?GN??1?。 ?2224同理：S△ABF=3?1。 43?133?16?33。 ???4444∴S阴影=S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG=1?用心 爱心 专心 36
【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理。
【分析】过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影=S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG，即可求得阴影图形的面积。 30．（青海西宁10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC， AD交BC与E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的 位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵在⊙O中，AB＝AC，
∴⌒AB＝⌒AC（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。 ∴∠ABC＝∠D（相等的弧所对的圆周角相等）。 ∵∠BAD＝∠BAE，
∴△ABE∽△ADB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似）。
ABAE
（2）∵△ABE∽△ADB，∴＝。
ADAB
∵AE＝2，ED＝4，∴AB＝23 。
（3）直线FA与⊙O相切 。理由如下：连接AO。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴在Rt△ABD中，AB＋AD＝BD， ∴BD＝43。∴OB＝23。 ∵BF＝OB， AB＝23， ∴AB＝OB＝BF。
∴∠FAO＝90°（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直
角三角形）。
∵OA为半径，
∴AF为⊙O切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，切线和判定。
2
2
2
用心 爱心 专心 37
【分析】（1）要证△ABE∽△ADB，只要两对应角相等即可。一方面，∠BAD＝∠BAE；另一方面，由等的弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠D。从而得证。
（2）由△ABE∽△ADB，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求得。 （3）要证直线FA与⊙O相切，只要证FA垂直于半径的外端的半径即可。
31.（黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E． (1)如图l，当∠ACB=90时，则线段DE、CE之间的数量关系为 (2)如图2，当∠ACB=120时，求证：DE=3CE：
(3)如图3，在(2)的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG
和△DBG关于直线DG对称(点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H． 若BH=10，求CE的长
00
【答案】解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，∴△DBE∽△CAE。∴
又∵BD=BC=2AC，∴DE=2CE。
∴线段DE、CE之间的数量关系为DE=2CE。
（2）证明：如图，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，∴∠D=∠BCD=30°。∴∠ACD=90°。 过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM= ∵AC=
BDDE?。 ACCE1BC， 21BC，∴BM=AC。 21CM。 2又∵∠BMC=∠ACM=90°，∠MEB=∠CEA， ∴△BME≌△ACE（AAS）。∴ME=CE= ∴DE=3EC。
（3）如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N， 设BF=a，∵∠DBF=120°，∴∠FBN=60°，∴FN= 用心 爱心 专心
31a，BN= a， 2238
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=
5a。 222?5??3?∴DF? DN?FN? ?a???a?? 7a。
?2??2?22∵AC=
11BC，BF= BC，∴BF=AC。 22∴△DBF≌△ACB，∴∠BDF=∠CBA， 又∵∠BFG=∠DFB，∴△FBG∽△FDB。 ∴
FGBFBG2?? ，即BF=FG×FD， BFDFDB7a。 7∴a2?7a?FG。∴FG?∴DG=DF－FG=DB2767a，BG?FG??a。
BF27∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH=∠BDF。∴∠ABC=∠GDH。 又∵∠BGF=∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴
GF37BGGF?a。 ?。∴GH?DG?BG7DGGH∵BH=BG＋GH= 57a?10，，∴a?27。 7∴BC=2a?47，CM′=BCcos30°=221，∴DC=2CM′=421。 ∵DE=3EC，∴EC=
1DC= 21。 4【考点】相似三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论。
（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论。
（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角
三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△FBG∽△FDB，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长。 32.（江苏宿迁12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝
1，以点C为圆心，CB为半 239
用心 爱心 专心
径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在 AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝
AC＝12?(1)2＝5
21得 22 ∵BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝5?1。
2 （2）∠EAG＝36°，理由如下：
∵FA＝FE＝1，AE＝AG＝5?1，∴AE＝AG。
2FAFE又∵∠AEG＝∠FEA，∴∠EAG＝∠AEF。∴△AEG∽△FEA。
?5?1???AE2?2?3?5AEGE∴＝。∴GE＝。∴FG＝FA－GE＝1－3?5＝5?1。 ＝＝FA1222FAAE2∴AG＝FD。∴∠FAG＝∠F。∴∠FAG＝∠EAG。
∴由三角形内角和定理，得5∠F＝180°，∴∠EAG＝∠F＝36°。
【考点】勾股定理，相似三角形的判定和性质，等量代换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。 【分析】⑴根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC＝CD，AE＝AD求得AE＝AC－AD即 可。
（2）由△AEG∽△FEA求出GE从而求出FG的长，证得AG＝FD，进而证得∠FAG＝∠EAG ＝∠F。从而根据三角形内角和定理即可求。
33.（广东广州11分）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．
用心 爱心 专心 40