【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，平行四边形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。
【分析】(1) 应用特殊角的三角函数解Rt△OAB，即可。
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面由∠OAB＝90o可证AB∥EC；另一方面应用直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，经等量代换可证得AB＝EC。
（3）由折叠对称的性质，在Rt△OAG中应用勾股定理即可求得OG的长。 7.（江苏盐城10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形， 试判断四边形OFDE的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.。 ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC。
∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC。
ODOBr10-r15
∴ ＝ ，即 ＝ 。 解得r ＝ 。 ACAB610415∴⊙O的半径为。
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(2)四边形OFDE是菱形。证明如下。 ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠B。
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∵∠DEF＝∠DOB，∴∠B＝∠DOB。
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∵∠ODB＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°。∴∠DOB＝60°。
∵DE∥AB，∴∠ODE＝60°。∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形。∴OD＝DE。 ∵OD＝OF，∴DE＝OF。∴四边形OFDE是平行四边形。
∵OE＝OF，∴平行四边形OFDE是菱形。
【考点】直线与圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，同弧所对的圆同角与圆心角的关系，直角三角形两锐角的关系，菱形的判定。
【分析】（1）要求⊙O的半径，就要把它放到三角形内，故作辅助线：连接OD。这样△OBD和△ABC易证相似，再用对应边的比就可求出半径。
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CEDAOFB
(2)要证四边形OFDE是菱形，由于OE和OF都是半径，故只要证四边形OFDE是平行四边形即可。要证这一点，由于四边形BDEF是平行四边形，有DE∥BF（ED∥OF），故只要证DE=OF，这一点由同
?所对的圆同角∠DEF等于圆心角∠DOB的一半，平行四边形对角相等∠DEF＝∠B和直角三角形两弧DF锐角互余∠DOB＋∠B＝90°容易得到。
8.（山东烟台10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD＋CD＝2AB．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD． 【答案】解：（1）证明：连接AC。
∵∠ABC＝90°，∴AB＋BC＝AC。 ∵CD⊥AD，∴AD＋CD＝AC。 ∵AD＋CD＝2AB，∴AB＋BC＝2AB。∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F。
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。 ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝CB，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。 ∴AE＝BF。 ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。
【考点】勾股定理，等量代换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可由AAS的全等三角形获证。
9.（山东日照9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证： （1）∠AOC＝2∠ACD； （2）AC＝AB·AD．
【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°。即∠ACD＋∠ACO＝90°。
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∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO。∴∠AOC＝180°－2∠ACO，即∴∠ACD－
1∠AOC+∠ACO＝90°。 21∠AOC＝0，即∠AOC＝2∠ACD。 2（2）如图，连接BC。 ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°。 在Rt△ACD与△RtABC中，
由（1）∠AOC＝2∠ACD，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠B＝∠ACD。
∴△ACD∽△ABC。
∴
ACAD2
，即AC＝AB·AD。 ?ABAC【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等量代换，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD＝90°，即∠ACD＋∠ACO＝90°，而利用OC＝OA得到∠ACO＝∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明。
（2）如图，连接BC。根据直径所对圆周角是的圆周角定理，由AB是直径得到∠ACB＝90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽△RtABC 接着利用相似三角形的性质即可证明。
10.（广东茂名8分）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2． （1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．
【答案】解：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，∴∠BAD=∠ABE。 又∵AB=BA、∠2=∠1，∴△ABD≌△BAE（ASA）。∴BD=AE。 又∵∠1=∠2，∴OA=OB。∴BD﹣OB=AE﹣OA，即：OD=OE。 （2）证明：由（1）知：OD=OE，∴∠OED=∠ODE。∴∠OED=（180°﹣∠DOE）。
同理：∠1=（180°﹣∠AOB）。
又∵∠DOE=∠AOB，∴∠1=∠OED。∴DE∥AB。
又∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行。 ∴四边形ABED是梯形。
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又由（1）知，△ABD≌△BAE，∴AD=BE。 ∴梯形ABED是等腰梯形。
（3）由（2）可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB。
S21?DE??DE??? ∴?DCE???? ?，即
S?ACB?3DE?9S?ACB?AB? ∴S?ACB =18。
∴S四边形ABED?S?ACB?S?DEC?18?2?16。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定。 【分析】（1） 如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE。
（2）由（1）的OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=（180°﹣∠DOE），∠1=（180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，最后证明AD与BE不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形。
（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质即可求出△ACB的面积，然后就可以 求出四边形ABED的面积。
11.（广东清远8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C．
C （1）求证：OC∥BD；
（2）若AO＝5，AD＝8，求线段CE的长．
【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90o。 ∵AC与⊙O相切，∴∠CAB＝90o。 ∵∠DAB＝∠C，∴∠AOC＝∠B。∴OC∥BD。
（2）∵AO＝5，∴AB＝10。又∵AD＝8，∴BD＝102?82=6。 ∵O为AB的中点，OC∥BD， ∴OE＝3。
∵∠DAB＝∠C，∠AOC＝∠B， ∴△AOC∽△DBA。 COAOCO525
∴＝ 。∴＝ 。 ∴CO＝ 。
ABDB10632516
∴CE＝CO－OE＝－3＝
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22E A O D B
【考点】直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得∠AOC＝∠B，再根据同位角相等两直线平行的判定，证得OC∥BD。
（2）要求CE，只要求出CO和OE即可。一方面OC∥BD，AO=OB，OE是?ABD的中位线，根据三角形中位线定理OE=
1BD，而由已知应用勾股定理可求BD。另一方面由于△AOC∽△DBA，由相似三角形2对应边的比相等可求。
12.（广东肇庆10分）已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。
（1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P是线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=
15，求tan∠ABF的值。 2【答案】解：（1）证：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。
∵∠DAC与∠CBD都是弧DC所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD。 ∴∠DAC=∠DBA。
（2）∵AB是直径，∴∠DAC=90。
又∵DF⊥AB，∴∠DEB=90。∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90。 ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP。∴PD=PA。
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90，且∠DAC=∠ADE， ∴ ∠PDF= ∠DFA=∠DFP。∴PD=PF。 ∴PA=PF。即P是线段AF的中点。
（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB。 ∴
0
0
0
0
ADAF。 ?DBAB15ADAF23 ∴在△ADB中，tan?ABD????。
DBAB104 即tan∠ABF=
3。 4【考点】同弧所对的圆周角性质，直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，等量代换，相似三角形
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