??。∴AE=ED。 （3）∵OC⊥AD，∴AE=ED??。∴AE=BD。 又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA。∴AE=BD???DE?。∴∠BAD=30°。 ∴AE=BD=DE。∴AE=BD又∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∴BD=
1AB=5,DE=5。 2在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=53。 过点D作DH⊥AB于H， ∵∠HAD=30°，∴DH=
531AD=。
22∴四边形AEDB的面积=
1153753(DE+AB)?DH=?(5?10)??。 2224【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，锐角三角函数，勾股定理，平行的性质，梯形的判定和面积。
【分析】(1)由切线的性质、直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理，可得∠C=∠BAD，由同弧所对的圆周角相等，可得∠BED=∠BAD，从而得证。
（2）由（1）的结论，根据锐角三角函数定义，可求出AC的长。
（3）由DE∥AB知，四边形AEDB是梯形，因此求出上、下底长和高即可。
24.（四川广安10分）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ?PQ=OQ?BQ； （3）设∠AOQ=α，若cosα=
4 ，OQ=15，求AB的长． 5【答案】解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OBP=∠OAP。 ∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°。 ∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线。
用心 爱心 专心 31
（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°， ∴△QAO∽△QBP， ∴
AQOQ，即AQ?PQ=OQ?BQ。 ?BQPQ（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=
4，∴OA=12，AQ=9。∴QB=27。 5∵
AQOQ，∴PQ=45，即PA=36。∴OP=1210。 ?BQPQ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP⊥AB，AC=BC。 ∴PA?OA=OP?AC，即36×12=1210?AC。
∴AC=
18103610，故AB=。 55【考点】全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，弦径定理。
【分析】（1）由SSS可证得△OAP≌△OBP（SSS），从而由∠OAP=90°可得∠OBP=90°而得证。 （2）由△QAO∽△QBP即可证得。 （3）由cosα=
4和（2）可求得OP=1210，再由△APO∽△CAO可得PA?OA=OP?AC，从而求出5AC=18103610而得到AB=。 5525.（四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论； (2)求证：
BDCD； =BEBC3AB，求tan∠CDF的值． 2(3)若BC＝
【答案】解：（1）∠CBD与∠CEB相等。证明如下：
∵BC切⊙O于点B，∴∠CBD=∠BAD。 ∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD。
用心 爱心 专心 32
（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴∠EBC=∠BD。 ∴△EBC∽△BDC。∴
BDCD。 =BEBC（3）∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，即∠ADB=90°。 ∵BC切⊙O于点B，∴AB⊥BC。 ∵BC＝
3BC3AB，∴=。 2AB2设BC=3x，AB=2x，∴OB=OD=x，∴OC=10x。∴CD=
?10－1x。
?∵AO=DO，∴∠CDF=∠A=∠DBF。∴△DCF∽△BCD。
CDDF==∴
BCBD?10?1x3x??=10?13?。∴tan∠DBF=DF=?BD10?13?。
?∴tan∠CDF=
10?13?。
【考点】切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。 【分析】（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等。
（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论。
（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，
即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值。 26.（四川遂宁9分）已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD?CD于D，BE?CD于E。
求证：⑴CD是⊙O的切线；
⑵CD=AD·BE
【答案】证明：⑴连结OC ，
∴∠OAC=∠OCA。
∵AC平分∠BAC，∴∠DAC=∠OAC。 ∴∠OCA=∠DAC 。 ∴AD∥OC 。
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。 ∴CD是⊙的切线 。 ⑵ 连结BC，延长AC交BE的延长线于M 。 ∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥BE。∴∠M=∠DAC。
2
用心 爱心 专心 33
∵∠DAC=∠BAM，∴∠BAM=∠M。∴BA=BM。 ∵AB是直径， ∴∠ACB=90?。∴AC=MC。
又 ∵∠M=∠DAC，∠D=∠CEM，AC=MC。 ∴△DAC≌△MCE（AAS）。∴DC=EC。 ∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB。∴?ADC∽?CEB 。 ∴ ∴CE·CD=AD·BE。 ∴CD=AD·BE。
【考点】等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，就要证CD垂直于过切点的半径，故连结OC。由等腰三角形等边对等角的性质和角平分线的定义，根据内错角相等，两直线平行的判定得到AD∥OC，从而由AD⊥CD证得OC⊥CD而得证。
（2）要证CD=AD·BE，只要证得?ADC∽?CEB即可。由等腰三角形等角对等边的判定可得BA=BM，由∠ACB=90?，根据直径所对圆周角是直角的性质可得AC=MC，由AAS可得△DAC≌△MCE。从而可由∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB证得?ADC∽?CEB。
27.（四川泸州7分）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点． （1）求∠BPC的度数； （2）求证：PA=PB+PC；
（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度． 【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点， ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°。 ∴∠BPC=60＋60=120°。 （2）在PA上截取PD=PC， ∵∠APB =60°，
∴△PCD为等边三角形，∴∠ADC=120°=∠BPC。 又∵∠CAD=∠CBP，∴△ACD≌△BCP（AAS）。∴AD=PB。 PA=PB+PC。
（3）∵∠CDM=∠ACM=60°，∠DMC=∠CMA ∴△CDM∽△ACM，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2。
0
0
2
2
ADCD。 ?CEBE用心 爱心 专心 34
设DM=x，则CM=2x，BM=4﹣2x，PM=2﹣x，AM=4x， ∵∠BPM =∠ACM，∠PBM =∠CAM，∴△BPM∽△ACM。 ∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2﹣x）：2x，解得，x=?1?13（舍去负值）， 3则x=
?1?13?2?213，∴CM=。 33【考点】相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；圆周角定理。 【分析】（1）由圆周角定理得∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°即可证得。
（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC。
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，
BM=4﹣2x，PM=2﹣x，AM=4x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2﹣x）：2x，解此分式方程求出x即可。
28.（四川凉山8分）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆
?的中点，交AC于点F，点E为CF连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD?BE，垂足为点H。 （1） 求证：AB是半圆O的切线； （2） 若AB?3，BC?4，求BE的长。 【答案】解：（1）证明：连接EC， ∵BC是直径，∴?E?90。
又∵AD?BE于H，∴?AHM?90。 ∵?1??2，∴?3??4。
∵AD是△ABC的角平分线，∴?4??5??3。
???的中点， ∴?3??7??5。 又 ∵E为CF∵AD?BE于H，∴?5??6?90， 即?6??7?90。 又∵BC是直径，∴AB是半圆O的切线 。
（2）∵AB?3，BC?4，由（1）知，?ABC?90，∴AC?5。·
在△ABM中，AD?BM于H，AD平分?BAC，∴AM?AB?3，∴CM?2。
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