x＋2y－5>0，??
课标理数5.E5[2011·浙江卷] 设实数x，y满足不等式组?2x＋y－7>0，
??x≥0，y≥0，数，则3x＋4y的最小值是( )
A．14 B．16 C．17 D．19 课标理数5.E5[2011·浙江卷] B 【解析】 可行域如图所示：
若x，y为整
图1－3
???x＋2y－5＝0，?x＝3，3
?联立解之得?又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－，
4?2x＋y－7＝0，???y＝1.
∴当z＝3x＋4y过点(4,1)时，有最小值16.
x＋2y－5≥0，??
课标文数3.E5[2011·浙江卷] 若实数x，y满足不等式组?2x＋y－7≥0，
??x≥0，y≥0，最小值是( )
A．13 B．15 C．20 D．28 课标文数3.E5[2011·浙江卷] A 【解析】 可行域如图阴影部分所示．
则3x＋4y的
???x＋2y－5＝0，?x＝3，联立?解之得?∴当z＝3x＋4y过点(3,1)时，有最小值13.
?2x＋y－7＝0，???y＝1.
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课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为
x
800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为
8
使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与
x
800＋×x×1
8800x800x800x
仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2×＝20，当且仅当＝，
xx8x8x8
即x＝80件(x>0)时，取最小值，故选B.
课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )[来源:Zxxk.Com]
A．2 B．3 C．6 D．9 课标文数10.B12，E6[2011·福建卷] D 【解析】 f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6， ∵a>0，b>0，
a＋b?2
∴ab≤??2?＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.
11
x2＋2??2＋4y2?的最小课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x，y∈R，且xy≠0，则?y??x??
值为________．
11
x2＋2??2＋4y2?＝1＋4x2y2课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：?y??x??
111
＋22＋4≥5＋24x2y2×22＝9，当且仅当4x2y2＝22时，“＝”成立． xyxyxy
122?x2＋12??12＋4y2?≥?x×1＋1×2y?2＝9，方法二：利用柯西不等式：当且仅当4xy＝22y??x???xy?xy
时，等号成立．
课标文数3.E6[2011·陕西卷] 设0
a＋ba＋b
A．a＜b＜ab＜ B．a＜ab＜＜b
22a＋ba＋b
C．a＜ab＜b＜ D.ab＜a＜＜b
22
a＋b
课标文数3.E6[2011·陕西卷] B 【解析】 因为0
2
a＋bb＋b故<＝b，a＝aa
22
课标理数16.E6[2011·浙江卷] 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
210
课标理数16.E6[2011·浙江卷] 5
3
【解析】 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1，
2
3?2x＋y?28210∴(2x＋y)2－·≤1，解之得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤. 2?2?55
课标文数16.E6[2011·浙江卷] 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是
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________．
23
【解析】 ∵x2＋y2＋xy＝1， 3
x＋y?2
∴(x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－??2?≤1，
423
∴(x＋y)2≤，x＋y≤. 33
14
大纲理数7.E6[2011·重庆卷] 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )[来
ab
源:学科网ZXXK]
79
A. B．4 C. D．5 22
141141b4a1
大纲理数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ＋＝(a＋b)＋＝5＋＋≥5＋
ab2ab2ab2
b4a92·＝.
ab2
b4a??a＝b，24
当且仅当?即a＝，b＝时取到等号．
33
??a＋b＝29
∴ymin＝. 2
1
大纲文数7.E6[2011·重庆卷] 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
x－2
A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4
大纲文数7.E6[2011·重庆卷] C 【解析】 ∵x＞2，
111
∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2?x－2?·＋2＝4，
x－2x－2x－2
1
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
x－2
＋＋＋
大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 若实数a，b，c满足2a＋2b＝2ab,2a＋2b＋2c＝2abc，则c的最大值是________________________________________________________________________．
＋＋大纲文数15.E6[2011·重庆卷] 2－log23 【解析】 2ab＝2a＋2b≥22ab，当且仅当a
＋
＝b时，2ab≥4取“＝”．
＋＋＋＋
由2a＋2b＋2c＝2abc得2ab＋2c＝2ab·2c，
＋2ab114c
∴2＝a＋b＝1＋a＋b≤1＋＝，
2－12－14－134
故c≤log2＝2－log23.
3
课标文数20.D5，E7[2011·广东卷]
nban－1
设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．
an－1＋n－1
(1)求数列{an}的通项公式；
＋
(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn1＋1.
课标文数16.E6[2011·浙江卷]
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nban－1
课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a1＝b>0，知an＝>0，
an－1＋n－1
n11n－1＝＋·. anbban－1
n1
令An＝，A1＝，
anb
11
当n≥2时，An＝＋An－1
bb
111＝＋?＋n－1＋n－1A1 bbb111＝＋?＋n－1＋n. bbb
11?
1－n?b?b?bn－1
①当b≠1时，An＝＝n，
1b?b－1?1－b
②当b＝1时，An＝n. nb?b－1???n，b≠1，
∴an＝?b－1
??1， b＝1.
2nbn?b－1?n＋1bn－1nn＋1
(2)证明：当b≠1时，欲证2an＝≤b＋1，只需证2nb≤(b＋1).
bn－1b－1
bn－12n2n－1＋－－n＋1
∵(b＋1)＝b＋b＋?＋bn1＋bn1＋bn2＋?＋1
b－1111nn－1
＝bn?b＋bn＋b＋bn－1＋?＋b＋b?
??n
>b(2＋2＋?＋2) ＝2nbn，
2nbn?b－1?＋
∴2an＝<1＋bn1. nb－1
＋
当b＝1时，2an＝2＝bn1＋1.
＋
综上所述2an≤bn1＋1.
2x
大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－，证明：当x>0时，
x＋2
f(x)>0；
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽
9?191
取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p
大纲理数22.B12，E8[2011·全国卷] 【解答】 (1)f′(x)＝.
?x＋1??x＋2?2当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)为增函数，又f(0)＝0.因此当x>0时，f(x)>0.
100×99×98×?×81(2)p＝.
10020又99×81<902,98×82<902，?，91×89<902，
9?19
所以p
2x
由(1)知：当x>0时，ln(1＋x)>.
x＋2
n
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2
1＋?ln(1＋x)>2. 因此，??x?
10?192110
在上式中，令x＝，则19ln>2，即??9?>e. 99
9?191
所以p
1
课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．
x
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
2
1ax－ax＋1
f′(x)＝1＋2－＝. xxx2令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0. 在(0，＋∞)上，f′(x)>0.
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
a－a2－4a＋a2－4
③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.
22
当0
x1－x2
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以，
x1x2
f?x1?－f?x2?lnx1－lnx21k＝＝1＋－a·. x1x2x1－x2x1－x2
又由(1)知，x1x2＝1，于是
lnx1－lnx2
k＝2－a·.
x1－x2
lnx1－lnx2
若存在a，使得k＝2－a，则＝1.[来源:学科网]
x1－x2
即lnx1－lnx2＝x1－x2.[来源:学科网]
1
亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)．(*)
x2
11
再由(1)知，函数h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1
tx2
1
－－2ln1＝0.这与(*)式矛盾． 1
故不存在a，使得k＝2－a.
课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值；
1?
(2)讨论g(x)与g??x?的大小关系；
1
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立．
a
1
课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋.
x
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