2222x?(x?1)(x?1)2 h?(x)????22xxx所以当x?1时，h?(x)?0,而h(1)?0,故 当x?(0,1)时，h(x)?0,可得1h(x)?0; 21?x1h(x)?0; 21?x当x?(1,??)时，h(x)?0,可得从而当x?0,且x?1,f(x)?lnxlnx?0,即f(x)?. x?1x?15. （辽宁文）20．（本小题满分12分）
设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．
（I）求a，b的值；
（II）证明：f(x)≤2x-2．
【解析】20．解：（I）f?(x)?1?2ax?b. …………2分 x?f(1)?0,?1?a?0,由已知条件得? 即??f(1)?2.1?2a?b?2.??解得a??1,b?3. ………………5分
2 （II）f(x)的定义域为(0,??)，由（I）知f(x)?x?x?3lnx.
2设g(x)?f(x)?(2x?2)?2?x?x?3lnx,则
g?(x)?1??2x?3(x?1)(2x?3)??. xx
当0?x?1时,g?(x)?0;当x?1时,g?(x)?0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,??)单调减少.而g(1)?0,故当x?0时,g(x)?0,即f(x)?2x?2. ………………12分 6. （江西文）20．（本小题满分13分） 设f(x)?13x?mx2?nx. 3 （1）如果g(x)?f'(x)?2x?3在x??2处取得最小值-5，求f(x)的解析式； （2）如果m?n?10(m,n?N),f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值；（注；区间（a，b）的长度为b-a）
【解析】20．（本小题满分13分）
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解：（1）由题得g(x)?x2?2(m?1)x?(n?3)?(x?m?1)2?(n?3)?(m?1)2 已知g(x)在x??2处取得最小值-5
?m?1?2所以?，即m?3,n?2 2?(n?3)?(m?1)??5即得所要求的解析式为f(x)?13x?3x2?2x. 3（2）因为f'(x)?x2?2mx?n,且f(x)的单调递减区间的长度为正整数， 故f'(x)?0一定有两个不同的根， 从而??4m?4n?0即m?n，
2不妨设为x1,x2,则|x2?x1|?2m?n为正整数，
22故m?2时才可能有符合条件的m，n 当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3时，只有n=5符合要求
当m?4时，没有符合要求的n
综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。 7 （陕西文）21．（本小题满分14分）
设f(x)?lnx.g(x)?f(x)?f?(x)。 （Ⅰ）求g(x)的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g(x)与g()的大小关系；
1x1对任意x＞0成立。 a1【解析】21．解（Ⅰ）由题设知f(x)?lnx,g(x)?lnx?，
xx?1∴g?(x)?2,令g?(x)?0得x=1，
x（Ⅲ）求a的取值范围，使得g(a)?g(x)＜
当x∈（0，1）时，g?(x)＜0，故（0，1）是g(x)的单调减区间。
当x∈（1，+∞）时，g?(x)＞0，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，因此，x=1是g(x)的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)?1. （II）g()??lnx?x
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(x?1)211设h(x)?g(x)?g(x)?2lnx?x?x，则h?(x)??x2，
当x?1时，h(1)?0即g(x)?g(1x)， 当x?(0,1)?(1,??)时h?(1)?0， 因此，h(x)在(0,??)内单调递减， 当0?x?1时，h(x)?h(1)?0 即g(x)?g(1x).
当x?1时,h(x)?h(1)?0
即g(x)?g(1x)
（III）由（I）知g(x)的最小值为1，所以，
g(a)?g(x)?1a，对任意x?0，成立?g(a)?1?1a,
即lna?1,从而得0?a?e。
8.（上海文）21．（14分）已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足ab?0。（1）若ab?0，判断函数f(x)的单调性；
（2）若ab?0，求f(x?1)?f(x)时x折取值范围。
【解析】21．解：⑴ 当a?0,b?0时，任意x1,x2?R,x1?x2，f(x1)?f(x2x2)?a(2x1?2x)?b(3?13x)
∵ 2x1?2x2,a?0?a(2x1?2x2)?0，3x1?3x2,b?0?b(3x1?3x2)?0， ∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数。 当a?0,b?0时，同理，函数f(x)在R上是减函数。 ⑵ f(x?1)?fx(?)a?x?2b?2x?3
当a?0,b?0时，(3xa2)??2b，则x?loga1.5(?2b)； 第 28 页 共 34 页
则
x当a?0,b?0时，()??32aa，则x?log1.5(?)。 2b2b9. （浙江文）（21）（本小题满分15分）设函数f(x)?a2lnx?x2?ax，a?0 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a，使e?1?f(x)?e2对x?[1,e]恒成立．
注：e为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考
查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为f(x)?a2lnx?x2?ax.其中x?0
a2(x?a)(2x?a)?2x?a??所以f?(x)? xx由于a?0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)
（Ⅱ）证明：由题意得，f(1)?a?1?c?1,即a?c
由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单调递增， 要使e?1?f(x)?e2对x?[1,e]恒成立，
?f(1)?a?1?e?1,只要? 222?f(e)?a?e?ae?e 解得a?e. 10. （重庆文）19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）
设f(x)?2x?ax?bx?1的导数为f?(x)，若函数y?f?(x)的图像关于直线
3.21x??对称，且f?(1)?0．
2 （Ⅰ）求实数a,b的值 （Ⅱ）求函数f(x)的极值 【解析】19．（本题12分）
解：（I）因f(x)?2x?ax?bx?1,故f?(x)?6x?2ax?b.
322a2a2, 从而f?(x)?6(x?)?b?66第 29 页 共 34 页
即y?f?(x)关于直线x??aa1对称，从而由题设条件知???,解得a?3. 662又由于f?(1)?0,即6?2a?b?0,解得b??12. （II）由（I）知f(x)?2x3?3x2?12x?1,
f?(x)?6x2?6x?12
?6(x?1)(x?2).
令f?(x)?0,即6(x?1)(x?2)?0.解得x1??2,x2?1. 当x?(??,?2)时,f?(x)?0,故f(x)在(??,?2)上为增函数； 当x?(?2,1)时,f?(x)?0,故f(x)在(?2,1)上为减函数； 当x?(1,??)时,f?(x)?0,故f(x)在(1,??)上为增函数；
从而函数f(x)在x1??2处取得极大值f(?2)?21,在x2?1处取得极小值f(1)??6. 11. （安徽文）（18）（本小题满分13分）
ex设f(x)?，其中a为正实数.
1?ax2（Ⅰ）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
1?ax2?ax解：对f(x)求导得f?(x)?e. ①
(1?ax2)2x （I）当a?
3142，若f?(x)?0,则4x?8x?3?0,解得x1?,x2?. 3221(??,) 2+ ↗ 综合①,可知
x f?(x) 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,?) 2+ ↗ f(x) 第 30 页 共 34 页