x－1
∴g′(x)＝2.令g′(x)＝0得x＝1，
x
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间， 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
1?(2)g??x?＝－lnx＋x.
1?1
设h(x)＝g(x)－g?＝2lnx－x＋， ?x?x
?x－1?2
则h′(x)＝－.
x21?
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g??x?，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0. 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0.
1?
即g(x)＞g??x?.
当x>1时，h(x) 1? 即g(x) 11 (3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)<，对任意x>0成立?g(a)－1<， aa 即lna＜1，从而得0＜a＜e. 第 16 页 共 34 页 课标理数19.E9[2011·安徽卷] 111 (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. xyxy (2)1 【解答】 (1)由于x≥1，y≥1，所以 111 x＋y＋≤＋＋xy xyxy ?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上式中的右式减左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 111 logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. xyxy 于是，所要证明的不等式即为 111 x＋y＋≤＋＋xy. xyxy 其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立． 课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷] (1)已知函数f(x)＝lnx－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值； (2)设ak，bk(k＝1,2，?，n)均为正数，证明： ①若a1b1＋a2b2＋?＋anbn≤b1＋b2＋?＋bn，则ab11ab22?abnn≤1； 122 ②若b1＋b2＋?＋bn＝1，则≤bb11bb22?bbnn≤b1＋b22＋?＋bn. n课标理数21.B12，E9[2011·湖北卷] 【解答】 1 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝1， x 当0 (2)证明：①由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≤f(1)＝0，即lnx≤x－1. ∵ak，bk>0，从而有lnak≤ak－1，得bklnak≤akbk－bk(k＝1,2，?，n)， 求和得?lnabkk≤?akbk－?bk， k＝1 k＝1 k＝1 n n n ∵?akbk≤?bk，∴?lnabkk≤0，即ln(ab11ab22?abnn)≤0， k＝1 k＝1 k＝1 nnn ∴ab11ab22?abnn≤1. 1 ②(i)先证bb11bb22?bbnn≥， n nn1n1??1?1?1?设ak＝(k＝1,2，?，n)，则?akbk＝? ＝1＝?bk，于是由①得?bb?12 ?nb1??nb2??nbn?nbkk＝1k＝1nk＝1 第 17 页 共 34 页 bn≤1， 即 ≤nb1＋b2＋?＋bn＝n， bb11bb22?bbnn 1 ∴bb11bb22?bbnn≥. n 22 (ii)再证bb11bb22?bbnn≤b21＋b2＋?＋bn， nbk2记S＝?bk，设ak＝(k＝1,2，?，n)， Sk＝1n1n2 则?akbk＝?bk＝1＝?bk， Sk＝1 k＝1k＝1 n 1 b1??b2??bn?bn≤1， 于是由①得?bb?12 ?S??S??S? 即bb11bb22?bbnn≤Sb1＋b2＋?＋bn＝S， 22 ∴bb11bb22?bbnn≤b21＋b2＋?＋bn. 综合(i)(ii)，②得证． 课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.[来源:Z&xx&k.Com] (1)求a、b的值，并写出切线l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1 课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 【解答】 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3. 由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1. ???8＋8a＋2b＋a＝0，?a＝－2，?由此得解得? ?12＋8a＋b＝1，?b＝5.?? 所以a＝－2，b＝5，切线l的方程为x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x. 依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2， 故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根． 1 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－. 4 又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x) 特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m成立，得m<0. 由韦达定理，可得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0， 故0 对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0， 则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0， 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0， 所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]的最大值为0. 1 于是当－ 4 1 －，0?. 综上，m的取值范围是??4? [来源:学科网] 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] 设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为( ) 第 18 页 共 34 页 A．－8 B．8 C．12 D．13 大纲理数10.E9[2011·重庆卷] D 【解析】 设f(x)＝mx2－kx＋2，由f(0)＝2，知f(x)的图象恒过定点(0,2)． 因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0,1)内有两个不 ?f?1?＝m－k＋2>0，? 同的交点，必有?k 0<<1，2m??Δ＝k－8m>0， 2 m>0， m>0，k>0， ??m－k＋2>0，即?2m－k>0，??k－8m>0， 2 在直角坐标系mOk中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z＝m＋k，则直线 m＋k－z＝0经过图中的阴影中的整点(6,7)时，z＝m＋k取得最小值，即zmin＝13. 图1－4 [2011·金堂月考] 设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( ) A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0 C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0 [2011·黄冈质检] 已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是 ( ) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| [2011·新都一中月考] 下列四个不等式：①a<0 ab 第 19 页 共 34 页 x－x－6 [2011·浠水模拟] 不等式>0的解集为( ) x－1 A．{x|x<－2或x>3} B．{x|x<－2或1 2 [2011·湖南师大附中月考] 不等式4－3·2＋2＜0的解集是__________． x x [2011·四川金堂中学月考] 下列不等式的证明过程正确的是 ( ) baba A．若a、b∈R，则＋≥2·＝2 abab44 B．若a∈R－，则a＋≥－2a·＝－4 aa C．若a、b∈R＋，则lga＋lgb≥2lgalgb －－ D．若a∈R，则2a＋2a≥22a·2a＝2 11 [2011·重庆模拟] 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为 xy __________． 第 20 页 共 34 页