[2011·北京`西城一模] 已知平面区域
?y≤x＋1，?
????y≥0，??x，y?Ω＝??
????
?x≤1??y≤－|x|＋1，???????，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为?x，y?M＝??
??????y≥0?
( )
11
A. B. 4312C. D. 23
??， ??
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函数与导数
1. （天津文）19．（本小题满分14分）已知函数f(x)?4x3?3tx2?6tx?t?1,x?R，其
中t?R．
（Ⅰ）当t?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t?0时，求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线
方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
322 （Ⅰ）解：当t?1时，f(x)?4x?3x?6x,f(0)?0,f?(x)?12x?6x?6
f?(0)??6.所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.
22 （Ⅱ）解：f?(x)?12x?6tx?6t，令f?(x)?0，解得x??t或x?t. 2
因为t?0，以下分两种情况讨论：
（1）若t?0,则t??t,当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2x t????,?? 2??+ ?t?,?t?? ?2?- ??t,??? + f?(x) f(x)
所以，f(x)的单调递增区间是???,?,??t,???;f(x)的单调递减区间是?,?t?。
??t?2??t?2?? （2）若t?0,则?t?t，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表： 2x ???,t? + t???t,?? 2??- ?t?,???? ?2?+ f?(x) f(x) 第 22 页 共 34 页
所以，f(x)的单调递增区间是???,?t?,?,???;f(x)的单调递减区间是??t,?.
?t?2????t?2? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t?0时，f(x)在?0,?内的单调递减，在?单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当
??t?2??t?,???内?2?t?1,即t?2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2f(0)?t?1?0,f(1)??6t2?4t?3??6?4?4?2?3?0.
所以对任意t?[2,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当0?t?t??t??1,即0?t?2时，f(x)在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增，2?2??2?若t?(0,1],f?
7373?1???t?t?1??t?0. ?244??f(1)??6t2?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0.
所以f(x)在?
?t?,1?内存在零点。 ?2?7373?t???t?t?1??t?1?0. ???244??
若t?(1,2),f? f(0)?t?1?0
所以f(x)在?0,
??t??内存在零点。 2?
所以，对任意t?(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t?(0,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
2. （北京文）18．（本小题共13分）
已知函数f(x)?(x?k)e. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
x【解析】（18）（共13分）
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解：（Ⅰ）f?(x)?(x?k?1)e3. 令f??x??0，得x?k?1．
f(x)与f?(x)的情况如下：
x （??,k?k） —— ↗ k?1 0 （(k?1,??) + ↗ f?(x) f(x)
?ek?1 所以，f(x)的单调递减区间是（??,k?1）；单调递增区间是(k?1,??) （Ⅱ）当k?1?0，即k?1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f(0)??k;
1?k?2时， 当0?k?1?1,即[0,k1?]由（Ⅰ）知f(x)在上单调递减，在(k?1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，
1]上的最小值为f(k?1)??ek?1；
当k?1?t,即k?2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)?(1?k)e.
3. (全国大纲文)21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
已知函数
f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x?12a?4?a?R?
（I）证明：曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2）；
（II）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3)，求a的取值范围。 【解析】21．解：（I）f'(x)?3x?6ax?3?6a.
????2分
由f(0)?12a?4,f'(0)?3?6a得曲线y?f(x)在x?0处的切线方程为 由此知曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2） （II）由f'(x)?0得x?2ax?1?2a?0.
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22????6分
（i）当?2?1?a?2?1时,f(x)没有极小值； （ii）当a?2?1或a??2?1时由,f'(x)?0得
x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1,
故x0?x2.由题设知1??a?a?2a?1?3. 当a?22?1时，不等式1??a?a2?2a?1?3无解。
5?a??2?1. 2????12分
2当a??2?1时，解不等式1??a?a?2a?1?3得?综合（i）（ii）得a的取值范围是(?5,?2?1). 24. （全国新文）21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1处)的切线方程为x?1xx?2y?3?0．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当x>0，且x?1时，f(x)?lnx． x?1【解析】（21）解：
?(
（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx? 22(x?1)x
?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即
2f'(1)??,??2?b?1,??a1
?b??,??22
解得a?1，b?1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x
x2?1lnx1f(x)??(2lnx?)
x?11?x2x考虑函数h(x)?2lnx?x2?1x(x?0)，则
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