所以,x1?31是极小值点,x2?是极大值点. 22（II）若f(x)为R上的单调函数，则f?(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知
ax2?2ax?1?0
在R上恒成立，因此??4a2?4a?4a(a?1)?0,由此并结合a?0，知0?a?1.
12. （湖北文）20．（本小题满分13分）
322设函数f，gx，其中x?R，a、b为常数，已()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1?x2，且对x?g()x?mx任意的x??x恒成立，求实数m的取值范围。 ()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）
解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?4ax?b,g?(x)?2x?3.
由于曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2，0）处有相同的切线， 故有f(2)?g(2)?0,f?(2)?g?(2)?1.
由此得??8?8a?2b?a?0,?a??2, 解得??12?8a?b?1,?b?5.
所以a??2,b?5，切线l的方程为x?y?2?0
3232 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?x?4x?5x?2，所以f(x)?g(x)?x?3x?2x.
依题意，方程x(x?3x?2?m)?0有三个互不相同的实数0,x1,x2，
2故x1,x2是方程x?3x?2?m?0的两相异的实根。
2所以??9?4(2?m)?0,即m??.
又对任意的x?[x1,x2],f(x)?g(x)?m(x?1)成立，
特别地，取x?x1时，f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，得m?0.
14第 31 页 共 34 页
由韦达定理，可得x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0,故0?x1?x2. 对任意的x?[x1,x2],有x-x2?0,x?x1?0,x?0
则f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0,又f(x1)?g(x1)?mx1?0 所以函数f(x)?g(x)?mx在x?[x1,x2]的最大值为0。
于是当m?0时，对任意的x?[x1,x2],f(x)?g(x)?m(x?1)恒成立， 综上，m的取值范围是(?
1,0). 413. （湖南文）22．（本小题满分13分）
设函数f(x)?x?1?alnx(a?R). x （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性.
（Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1,x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问：是否存在a，使得k?2?a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【解析】22．（本小题13分）
解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).
1ax2?ax?1 f'(x)?1?2??
xxx222令g(x)?x?ax?1,其判别式??a?4.
(1) 当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．
?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,??)上，f'(x)?0，故(2) 当a??2时,f(x)在(0,??)上单调递增．
a?a2?4a?a2?4?>0,g(x)=0的两根为x1?,x2?(3) 当a?2时,，
22当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a?2．
因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?x1?x2?a(lnx1?lnx2)，所以 x1x2第 32 页 共 34 页
k?f(x1)?f(x2)lnx?lnx21 ?1??a?1x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2
x1?x2又由(I)知，x1x2?1．于是k?2?a?若存在a，使得k?2?a.则
lnx1?lnx2?1．即lnx1?lnx2?x1?x2．亦即
x1?x2
x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*) x21t再由（I）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以
x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a. x2114. （广东文）19．（本小题满分14分）
设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。 【解析】19．（本小题满分14分）
解：函数f(x)的定义域为(0,??).
2a(1?a)x2?2(1?a)x?1f?(x)?,
x当a?1时,方程2a(1-a)x?2(1?a)x?1?0的判别式
2
1????12(a?1)?a??.
3??①当0?a?
1时,??0,f?(x)有两个零点， 3
x1?(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11 ??0,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)且当0?x?x1或x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)与(x2,??)内为增函数； 当x1?x?x2时,f?(x)?0,f(x)在(x1,x2)内为减函数；
1?a?1时,??0,f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)内为增函数； 31③当a?1时,f?(x)??0(x?0),f(x)在(0,??)内为增函数；
x②当
第 33 页 共 34 页
④当a?1时,??0,x1?(a?1)(3a?1)1??0, 2a2a(1?a)
(a?1)(3a?1)1x2???0,所以f?(x)在定义域内有唯一零点x1，
2a2a(1?a)且当0?x?x1时,f?(x)?0,f(x)在(0,x1)内为增函数；当x?x1时，
f?(x)?0?a?内为减函数。 0,f在x(1)?x(?,)f(x)的单调区间如下表：
1 31?a?1 3a?1 (0,x1)
（其中x1?
www.zxsx.com
(x1,x2) (x2,??) (0,??) (0,x1) (x1,??) (a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11） ?,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)
第 34 页 共 34 页