第八章 平面解析几何
第一节
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
y2－y1y1－y2
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝. x2－x1x1－x2二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 几何条件 过点(x0，y0)，斜率为k 方 程 y－y0＝k(x－x0) 局限性 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直线 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 斜截式 斜率为k，纵截距为b 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A，B不全为0) 两点式 截距式 一般式 [小题能否全取]
1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
解析：选C 由k＝tan α＝－
3
，α∈[0，π)得α＝150°. 3
3
2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
4A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
3
解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
4
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
4－m
解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
m＋2
4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________． 5－3a－3解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
6－45－4
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4
5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________． 3
解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.
23
所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，
2即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
典题导入
3π
[例1] (1)(2012·湛江模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝
4( )
A．－1 B．－3 C．0 D．2
(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________． 3π2y＋1－?－3?2y＋4[自主解答] (1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.
424－2(2)由题知k＝－3333
cos θ，故k∈?－，?，结合正切函数的图象，当k∈?0，?时，33??33??
π5π3
0，?，当k∈?－，0?时，直线倾斜角α∈?，π?，故直线的倾斜角的范直线倾斜角α∈??6??6??3?π5π
0，?∪?，π?. 围是??6??6?
π5π
0，?∪?，π? [答案] (1)B (2)??6??6?
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
π
1．(1)(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by
4＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．120° D．135°
(2)(2012·汕尾模拟)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值范围是________．
π?π
解析：(1)由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f??2?，即－b＝a，4则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.
2a－?1＋a?a－1(2)解析：k＝tan α＝＝，
3－?1－a?a＋2
∵α为钝角， ∴
a－1
＜0，即(a－1)(a＋2)＜0. a＋2
∴－2＜a＜1.
答案：(1)D (2)(－2,1)
直 线 方 程
典题导入
[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
则所求直线方程为x－2y－1＝0.
1－0(2)由题意得，×k＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－
1－3MN
1)，即2x－y－1＝0.
[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法
3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 7??1?因为线段AB，AC中点坐标分别为??2，1?，?－2，－2?， 1
x＋2y＋2
所以这条直线的方程为＝，
1＋271
＋22
xy
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
131368
y＋4x－1
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即
3＋42－1xy
一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
11117
典题导入
[例3] (2012·江门模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上． x
＝3，?x＋2
由题意知?y＋y
?2＝0，
BB
直线方程的综合应用
则点B(6－x，－y)，
??2x－y－2＝0，
解方程组?
??6－x?＋?－y?＋3＝0，?
?得?16
y＝?3，
11x＝，3
16－03则k＝＝8.
11－33
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)， 点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
??y＝k?x－3?，由???2x－y－2＝0，
3k－2
x＝??k－2，解得?4k
y＝??k－2.
AA
??y＝k?x－3?，
由?
?x＋y＋3＝0，?
3k－3
x＝??k＋1，解得?－6k
y＝??k＋1.
BB
∵P(3,0)是线段AB的中点， 4k－6k
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
k－2k＋1∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 若k＝0，则xA＝1，xB＝－3，