两直线的平行与垂直 典题导入
[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2. [答案] A
在本例中若l1⊥l2，试求a.
解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0， 2∴a＝－. 3
由题悟法
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
以题试法
1．(2012·汕尾模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
sin Ab解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，
asin Bsin Ab
由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．
asin B
典题导入
两直线的交点与距离问题 [例2] (2013·惠东模拟)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点， (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
???2x＋y－5＝0，??x＝2，?[自主解答] (1)法一：由?得?
?x－2y＝0，???y＝1.
∴交点坐标为(2,1)．
当l斜率不存在时，x＝2，符合题意．
当l斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0. 由
|5k＋1－2k|4
＝3，得k＝. 3k2＋1
45
∴直线方程为y＝x－，即4x－3y－5＝0.
33综上，l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴
＝3.
?2＋λ?2＋?1－2λ?2|10＋5λ－5|
1
解得λ＝2或λ＝.
2
∴l方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由(1)知交点P(2,1)．如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．dmax＝|PA|＝10.
由题悟法
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解： (1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|. (2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
以题试法
213
2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c
13的值是________．
6ac
解析：由题意得＝≠，
3－2－1得a＝－4，c≠－2，
c
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
2
则
?c＋1?
?2?213
13
＝
13
，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
对 称 问 题
典题导入
[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．210 B．6 C．33 D．25
[自主解答] 如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝40＝210即为光线所经过的路程．
[答案] A由题悟法
对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
??x′＝2a－x，?? ?y′＝2b－y.?
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
n－b?A???m－a×?－B?＝－1，??a＋mb＋n??A·2＋B·2＋C＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
以题试法
3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( ) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
[典例] (2012·清远中学)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． ?3x＋2y－1＝0，??
[常规解法] 解方程组?
?5x＋2y＋1＝0，?
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)． 35
由l3的斜率得l的斜率为－. 53
5
则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y－1＝0.
3
——————[高手支招]——————————————————————— 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
—————————————————————————————————————— [巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整
3＋5λ51
理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.
352＋2λ
代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0. ?针对训练
求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程． bb
解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，62bb
0，－?，?－，0?. 则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为?6??2??
1?b??b?1b2
－·－＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±又所围成的三角形面积S＝·12. 2?6??2?212故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0. 即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.
1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1
＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
1
2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )
2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 解方程组{kx－y＝k－1，?ky－x＝2k， 得两直线的交点坐标为
?k，2k－1?，因为0＜k＜1，所以k＜0，2k－1＞0，故交点在第二象限． ?k－1k－1?2k－1k－1??
3．(2012·茂名检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
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A. B. 52C．4 D．8
解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x