第三节
圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1． 圆的定义及方程 定义 标准 方程 一般 方程 2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( ) 11 A.＜m＜1 B．m＜或m＞1 441 C．m＜ D．m＞1 4 1 解析：选B 由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1. 4 2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4， ∴－1＜a＜1. 22平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0) x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心：(a，b)，半径：r DE－，－?， 圆心：?2??21半径：D2＋E2－4F 23．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知?0－1?2＋?b－2?2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d＝答案：1 5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________． 解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0) ∴ |2| ＝a，∴a＝2， 1＋1 |1－3|＝1. 1＋3 ∴x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2 1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是： (1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0. 2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 典题导入 [例1] (1)(2012·梅州模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为( ) 4133 A.?x±?2＋y2＝ B.?x±?2＋y2＝ 33?3??3?4133 C．x2＋?y±?2＝ D．x2＋?y±?2＝ ?3?3?3?3 圆的方程的求法 (2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________． 2π [自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0， 3ππ233 b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±. 33333 43 故圆的方程为x2＋?y±?2＝. ?3?3(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0， ??26＋5D＋F＝0，则? ?10＋D＋F＝0，???D＝－4，解得? ??F＝－6. 圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0. [答案] (1)C (2)x2＋y2－4x－6＝0 由题悟法 1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用． 以题试法 1．(2012·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是( ) A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析：选D 易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. 典题导入 [例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 (2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连 与圆有关的最值问题 线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0. (2)由C(1,1)得|OC|＝2，则|OP|min＝2－1，即(x2＋y2)min＝2－1.所以x2＋y2的最小值为(2－1)2＝3－22. [答案] (1)A (2)3－22 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 y－b (1)形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题 x－a(如A级T9)； (2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例2(2))． 以题试法 2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________． (2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________． 解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C(－|－1－1－2|1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝22，易知所求圆的半径等于 222＋232 ＝. 22 (2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆|2×2＋1－b|相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最 5小值为5－5. 32答案：(1) (2)5＋5 5－5 2 典题导入 [例3] (2012·潮州模拟)如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程． 与圆有关的轨迹问题 [自主解答] 设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得 2x－1 ，?x＝－1＋1＋3 ?2y?y＝3，0 0 1，?x＝3x＋2 则?3y y＝?2?y≠0?， 00 0 14 x＋?2＋y2＝(y≠0)， 代入x2＋y2＝1，整理得??3?914 x＋?2＋y2＝(y≠0)． 故所求轨迹方程为??3?9 由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 以题试法 3．(2012·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 解析：选B 设P(x，y)，则由题意可得2?x－2?2＋y2＝?x－8?2＋y2，化简整理得x2＋y2＝16.