13＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为22＝.
23＋42
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．
5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3
的斜率为( )
1A．－2 B．－
21
C. D．2 2
解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3， 131即y＝x＋，其斜率是，
222由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．(2012·深圳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0
解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.
7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．
1解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－. 21
答案：－ 2
8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．
解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．(2013·韶关模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
?1＋7?
?2?
解析：由题意得，点到直线的距离为
|4×4－3×a－1||15－3a||15－3a|
＝.又≤3，即|15－
555
3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．
答案：[0,10]
11
10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离
ab的最小值．
a＋2b111?1?2ba?解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)??a＋b?＝5?3＋a＋b?55≥
35＋2102＋21
(3＋22)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋2，b＝时取等
525
35＋210
号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.
5
11．(2013·执信中学检测)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程． 解：(1)证明：l的方程化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由{2x＋y＋1＝0，?x＋y－1＝0，? 得{x＝－2，?y＝3， ∴直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，又直线PA的斜率kPA＝
4－31
＝， 3＋25
∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0. 12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)． y′－y
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
x′－x又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上， x′＋xy′＋y∴3×－＋3＝0.②
22
?由①②得?3x＋4y＋3
y′＝. ④ ?5
－4x＋3y－9x′＝， ③
5
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
－4x＋3y－9
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－53x＋4y＋3
－2＝0， 5
化简得7x＋y＋22＝0.
1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为的点P的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等， ∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.
2
2|t－2t|
设P(t2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P点有三个．
22
2,
2
，这样2
2．(2012·汕头模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A．2 B．22 C．4 D．23
解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝所以m2＋n2的最小值为4.
3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． 解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
|－10|＝2，
42＋32
b－4
即3·＝－1.
a则a＋3b－12＝0.①
ab＋4?
又由于线段BB′的中点坐标为?，，且在直线l上，
2??2ab＋4
则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②
22解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．
y－1x－4于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
3－13－4x＋y－9＝0， 得{x＝2，?y＝5， 解{3x－y－1＝0，?2
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
1
1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线xsin θ＋ycos θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )
45ππ5πA. B.或 666ππ7πC. D.或 666
|sin θ＋cos2θ－1|1解析：选B 由已知得＝，
sin2θ＋cos2θ41
即|sin θ－sin2θ|＝，
4
∴4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0， 1±21
∴sin θ＝或sin θ＝. 22∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1， 1π5π
∴sin θ＝，即θ＝或. 266
2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是
( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则
?
?y＋2
?x×1＝－1，
x－2y－1＝0.
x＋0y－2
－－1＝0，?22
??x＝－1，?
得?即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为?y＝－1.?
3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所
在的直线方程．
?x－2y＋5＝0，??
解：法一：由?
??3x－2y＋7＝0，??x＝－1，?
得? ?y＝2.?
即反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′2y0⊥l可知，kPP′＝－＝. 3x0＋5
而PP′的中点Q的坐标为?x0－5y0即3·－2·＋7＝0.
22
23?y01732?
由?x＋5＝－3，?2?x0－5?－y0＋7＝0.得?x0＝－13，?y0＝－13.
??0
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
y0－y
法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则
x0－x2＝－，
3
又PP′的中点Q?x＋x0y＋y0??2，2?在l上，
x0－5y0??2，2?，Q点在l上，
x＋x0y＋y0
即3×－2×＋7＝0，
22y－y2＝－，???x－x3
由?x＋x
3×??2－?y＋y?＋7＝0.
00
0
0
可得P点的坐标为
－5x＋12y－4212x＋5y＋28x0＝，y0＝，
1313
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0， 故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.