m＋n1m－3n??2＝2·2，1
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得?2m－0n－0
＝??m－1－3n－1，解得m＝3，所以A(3， 3)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝
3＋33
＝，
23－1
3＋3
所以lAB：y＝(x－1)，
2
即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.
1．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
ππ?ππ， B.?，? A.??63??62?ππ?ππ， D.?，? C.??32??62??y＝kx－3，解析：选B 由?
?2x＋3y－6＝0，
3?2＋3??x＝
?2＋3k，解得?
6k－23y＝??2＋3k.
??x＞0，3
∵两直线交点在第一象限，∴?解得k＞. 3?y＞0，?
ππ?∴直线l的倾斜角的范围是??6，2?.
2．(2012·潮州质检)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：y＝kx－1与线段PQ有交点，则斜率k的取值范围是________．
解析：直线l过定点M(0，－1)，如图所示：
kQM＝
2＋131＋1
＝，kPM＝＝－2， 22－1
3
∴当k≥或k≤－2时，直线l与线段PQ有交点．
2
3
，＋∞? 答案：(－∞，－2]∪??2?
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，
∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
??k≥0，
要使直线l不经过第四象限，则?
??1＋2k≥0，
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
1＋2k1＋2k?
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A?－，0，kk??B(0,1＋2k)．
1＋2k又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
k111＋2k故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
22k111
4k＋＋4?≥(4＋4)＝4， ＝?k?22?11
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
k2
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：选B ∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
11
∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
33
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
2a－?1＋a?a－1解析：k＝tan α＝＝. 3－?1－a?a＋2
a－1
∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
a＋2故－2＜a＜1. 答案：(－2,1)
3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
xy
解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
ab32
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
ab32∴1＝＋≥2
ab
6
，即ab≥24. ab
132
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，
2ab△ABO的面积最小，最小值为12. xy
此时直线l的方程为＋＝1.
64即2x＋3y－12＝0.
第二节两直线的位置关系
[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系 方 程 斜截式 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 一般式 2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 2A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) 相 交 垂 直 A1B2－A2B1≠0 k1≠k2 1k1＝－或 k2k1k2＝－1 k1＝k2 且b1≠b2 ?当A2B2≠0时，记为A1≠B1? A2B2??A1A2＋B1B2＝0 A2?当B1B2≠0时，记为A1·＝－1? B1B2???A1B2－A2B1＝0，??A1B2－A2B1＝0，????或? ??BC－BC≠0AC－AC≠0?21?121221 平 行 ?当A2B2C2≠0时，记为A1＝B1≠C1? A2B2C2??A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) 重 合 k1＝k2 且b1＝b2 ?当A2B2C2≠0时，记为A1＝B1＝C1? A2B2C2??二、两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{A1x＋B1y＋C1＝0，?A2x＋B2y＋C2＝0 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
三、几种距离 1．两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式： d(A，B)＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2. 2．点到直线的距离
|Ax1＋By1＋C|
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
A2＋B23．两条平行线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )
A．6 B．－6 C．5 D．－5
m＋1解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝. 5
|C1－C2|A2＋B2.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1， m＋1∴1×＝－1，即m＝－6.
5
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( ) A.
5
B.5 5
1
C．5 D.
5
|0＋2×?－1?－3|
解析：选B d＝＝5.
5
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( ) A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a)
y′－b??x′－a×?－1?＝－1，?
解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则?x′＋ay′＋b
??2＋2＋1＝0，解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为( ) A．3 B．5 C．－5 D．－8
x－3y＋1＝0， 得l1与l2的交点坐标为(1,1)． 解析：选D 由{x－y＝0，?2所以m＋3＋5＝0，m＝－8.
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．
解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．
|m＋5|
，得m＝10或－20.
42＋32