xA＋xB1－3此时＝≠3，∴k＝0舍去，
22故所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 1
2－，0?，B(0，1－2k)， A??k?
11
2－? △AOB的面积S＝(1－2k)??k?21?－1??≥1(4＋4)＝4. ＝?4＋?－4k?＋?k??22?11
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
k21
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
2(2)∵|MA|＝ ∴|MA|·|MB|＝
122＋1，|MB|＝4＋4k， k
122＋1·4＋4k＝2 k
1k2＋2＋2≥2×2＝4，
k
1
当且仅当k2＝2，即k＝－1时取等号，
k故直线方程为x＋y－3＝0.
[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等． 故a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得
a－2
＝a－2，即a＋1＝1， a＋1
故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
???－?a＋1?＞0，?－?a＋1?＝0，则?或? ??a－2≤0，a－2≤0.??
∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．
——————[易错提醒]———————————————————————— 1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.
2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.
——————————————————————————————————————?针对训练
过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 4解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；
3xy
②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，
a－a即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7. 即直线方程为x－y－7＝0. 4
答案：y＝－x或x－y－7＝0
3
3
1．(2013·惠州模拟)过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为( )
5A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0 解析：选D 设所求直线的倾斜角为α， 33
则sin α＝，∴tan α＝±，
543
∴所求直线方程为y＝±x＋2，
4即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.
2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0 C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0
解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋C|
22，解得C＝16(舍去)或C＝－38. 2＋11
3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)
解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2. 又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．
4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方acac
程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
bbbb
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )
|0＋11＋16|22＋112＝
111
A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1
3331
C．y＝3x－3 D．y＝x＋1
3
1
解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单
3111
位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋. 333
6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1
解析：选C 线段AB的中点?
1＋m?
?2，0?代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.
7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
2
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3
k21＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.
k2
1?答案：(－∞，－1)∪??2，＋∞?
8．(2012·揭阳模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________． 33x解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为22ay
＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1. a
综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
???x＋2＝0，?x＝－2，则?得? ?x＋y－1＝0，???y＝3.
答案：(－2,3)
10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程． xy
解：设所求直线方程为＋＝1，
ab
?由已知可得?1
?2|a||b|＝1，
22
－＋＝1，ab
?a＝－1，?a＝2，???解得或? ???b＝－2?b＝1.
故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 11．(2012·中山统考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈?－?
3?－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
3?
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 1
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
m＋1π
(2)①当m＝－1时，α＝；
2②当m≠－1时，m＋1∈?－?
3?
，0∪(0，3 ]， 3?
13
∴k＝∈(－∞，－3 ]∪?，＋∞?，
m＋1?3?ππ??π2π?∴α∈??6，2?∪?2，3?.
π2π?综合①②知，直线AB的倾斜角α∈??6，3?.
12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交1
OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
2
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－
3
， 3
3x. 3
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－设A(m，m)，B(－3n，n)， 所以AB的中点C??m－3nm＋n?，
?
?2，2?