与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用．同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否分类讨论．同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．
??m
≤?x－2?2＋y2≤m2，x，y∈R?，B＝{(x，[典例] (2011·江苏高考)设集合A＝??x，y???2
?
?
y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠?，则实数m的取值范围是________．
m1
[解析] 由题意知A≠?，则≤m2，即m≤0或m≥.因为A∩B≠?，则有：
22
|2－2m－1|1
(1)当2m＋1<2，即m<时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m＋1的距离为d1＝≤|m|，
22化简得2m2－4m＋1≤0，
解得1－2221
≤m≤1＋，所以1－≤m≤； 2222
1
(2)当2m≤2≤2m＋1，即≤m≤1时，A∩B≠?恒成立；
2(3)当2m>2，即m>1时，
|2－2m|
圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝≤|m|，
2化简得m2－4m＋2≤0， 解得2－2≤m≤2＋2， 所以1 1 ，2＋2?. 综上可知：满足题意的m的取值范围为??2?1 ，2＋2? [答案] ??2? [题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义； ②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围． ?针对训练 若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为( ) A．4 B．2 1 C．1 D. 4 解析：选C 圆C的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4. 114a＋b?21?4?2 所以ab＝(4a·b)≤?＝×＝1. 44?2?4?2?1 当且仅当a＝，b＝2取得等号． 2 1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：选A 圆上任一点(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5.即(x－2)2＋y2＝5. 2．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心． 3．(2012·佛山期末)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ) 7 y－?2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 A．(x－3)2＋??3?3 x－?2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.??2?|4a－3| 解析：选B 依题意设圆心C(a,1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得＝1， 5解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1. 4．(2012·海淀检测)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 ?解析：选A 设圆上任一点为Q(x，y)，PQ的中点为M(x，y)，则?－2＋y y＝，?2 0 0 0 4＋x0x＝，2 解 ??x0＝2x－4，得?因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2 ?y0＝2y＋2.? ＝1. 5．(2013·深圳调研)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选D 曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a＞0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到横、纵坐标轴的最短距离分别为|2a|，|－a|，则有|2a|＞2，|－a|＞2，故a＞2. 6．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( ) 9 A. B．1 5413C. D. 55 解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|94 ＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝. 555 7．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________． |OA|＋|OB|－|AB|15＋8－17解析：因为△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝＝＝223，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9. 答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝9 8．(2013·东莞检测)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________． 解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 答案：x2＋(y－1)2＝10 y－2 9．(2012·南京模拟)已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________． x－1 |4×0－3×1－2|22?|AB|?2 ＝1，则R＝d＋?2?42＋?－3?2y－2y－2解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ x－1x－1与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由y－2333 ＝，结合图形可知，≥，故最小值为. 44x－14 3答案： 4 10．(2012·珠海模拟)已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程． 解：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)， |2－k|＝1得k k2＋1 ?4＋m＝r，? 则?|2－0＋m| ＝r， ?2? 22 ?m＝2， 解得? ?r＝22. 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)． 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210， ∴(a＋1)2＋b2＝40.② ???a＝－3，?a＝5， ?由①②解得或? ?b＝6???b＝－2. ∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)． ∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 12．(2012·吉林摸底)已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)当m为何值时，方程C表示圆； (2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝ 45 ，求5 m的值． 解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然只要5－m＞0，即m＜5时方程C表示圆． (2)因为圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，其中m＜5，所以圆心C(1,2)，半径r＝5－m， |1＋2×2－4|1 则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝， 512＋22因为|MN|＝ 45125 ，所以|MN|＝， 5251?2?25?2 ＋， ?5??5? 所以5－m＝?解得m＝4. x2y2 1．(2012·湛江模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的 63方程是( ) A．(x－3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－3)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9 解析：选B 双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r＝|3|1＋?±2? 2 2 ＝3，所求圆方程为(x－3)2＋y2＝3. 2．由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是( ) A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3) 解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知|PT|＝|PC|2－1，故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x ??y＝x＋2， －4)，即y＝－x＋2，联立方程?解得点P的坐标为(0,2)． ?y＝－x＋2，? 3．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．