?1－a?＋?－1－b?＝r，??222
根据题意，得??－1－a?＋?1－b?＝r，
??a＋b－2＝0.解得a＝b＝1，r＝2，
222
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM 11
＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|， 22
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|， 而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4， 即S＝2|PM|2－4.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min＝232－4＝25.
1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．52 B．102 C．152 D．202
解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－?12＋22?＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边11
形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×210×25＝102.
22
2．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝则AB边上的高的最小值为
3
－1. 2
3， 2
|3×1＋4×1＋8|
＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2|PM|2min－4＝223＋4
31
故△ABC面积的最小值是×22×?－1?＝3－2.
2?2?答案：3－2
3．(2012·抚顺调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交 图形 量化
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|) 图形 量化 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d ＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 相离 外切 相交 内切 内含 方程观点 几何观点 Δ＜0 d＞r Δ＝0 d＝r Δ＞0 d＜r [小题能否全取]
1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离
解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．
2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A.7 B．22 C．3 D.2
解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，则圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为值为?22?2－1＝7.
3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且AB的长为2，则圆的半径为( ) 326A. B. 22C．1 D．2
解析：选B 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝
1136
|AB|?2＋d2＝，r＝. .则r2＝??2?222
4
＝22，切线长的最小2
4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知
2
＞1，解得－3＜k＜3. 1＋k2答案：(－3， 3)
5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0. 答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 [自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P(3,0)在圆内．
故过点P的直线l定与圆C相交． [答案] A
本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4， ∴圆心(2,0)，r＝2. 又圆心到直线的距离为d＝∴l与C相离．
由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
以题试法
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－22，22) B．(－2，2) C.?－
6
＝32＞2. 2
直线与圆的位置关系的判断 ?
1122?
－，? D.?，?88?44?
解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx
－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得
|k＋2k|
2221＜1，即k＜，解得－＜k＜. 844k2＋1
直线与圆的位置关系的综合 典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．33 B．23 C.3 D．1
(2)(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－3，1＋3 ]
B．(－∞，1－3 ]∪[1＋3，＋∞) C．[2－22，2＋22 ]
D．(－∞，2－22 ]∪[2＋22，＋∞)
[自主解答] (1)圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝5
＝1. 32＋42故|AB|＝2r2－d2＝24－1＝23.
(2)圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为
＝1，所以m＋n
?m＋1?2＋?n＋1?2|m＋n|
1
＋1＝mn≤(m＋n)2，整理得[(m＋n)－2]2－8≥0，解得m＋n≥2＋22或m＋n≤2－22.
4
[答案] (1)B (2)D
由题悟法
1．圆的弦长的常用求法：
l?222
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则??2?＝r－d. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝1＋k2|x1－x2|＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
以题试法