第二章 参数方程
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
8参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。 三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程
（一）．参数方程的概念
1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：
y v=v0 ?0，与地面成
??x?v0cos??t? ?12(t为参数）y?vsin??t?gt0?2?? O x （2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 （3）平抛运动：
y 500 v=100m/s A ?x?100t? ?12(t为参数）y?500?gt?2?第 16 页 共 34 页 O x
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。 （二）、应用举例：
?x?3t例1、已知曲线C的参数方程是? (t为参数)（1）判断点2?y?2t?1M1(0,1),
（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。 M2(5,4)与曲线C的位置关系；
分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
?例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60
rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知{x?2cos?y?2sin??又??60t，得参数方程为
{?tx?2cos60?ty?2sin603000Y(t?0)。
2500200015001000M500XA-4000-3000-2000-100010002000300040005000-500-1000c1-1500-2000-2500-3000 反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。 （三）、课堂练习：
（四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
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（五）、作业：
补充：设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解：（1）
?x?150t?2?y?588?4.9t(t为参数)。（2）1643m。
五、教学反思：
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9 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 y Mr ?Ox M0x ?x?rcos???y?rsin?(?为参数)这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
?x?2cos??52、指出参数方程(?为参数)所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。??y?3?2sin?864P2A-10-5C510-2c1-4-6-83、若如图取 结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。 第 19 页 共 34 页 4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。 （二）、应用举例 例1、已知两条曲线的参数方程 45 c1:?y?5sin?(?为参数）和c2:?y?3?tsin450(t为参数）x?5cos?x?4?tcos0（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P（x，y）是圆x2?y2?6x?4y?12?0上动点，求（1）x2?y2的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。 解：圆x2?y2?6x?4y?12?0即(x?3)2?(y?2)2?1，用参数方程表示为{由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1）x2?y2?(3?cos?)2?(2?sin?)2?14?4sin??6cos??14?213sin(???) (其中tan ? = 3) ∴x2?y2的最大值为14+2 13，最小值为14- 213 。 2x?3?cos?y?2?sin? ?(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+2 sin（ θ + 4 ）∴ x+y的最大值为5+ 2 ， 最小值为5 -2 。 (3) d?3?cos??2?sin??124?2sin(???2?4) ?显然当sin（ θ+ 4）= ?1时，d取最大值，最小值，分别为1?22，1?22 . 2、 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________； 第 20 页 共 34 页