常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）
。
y有只含的积分因子的充要条件是______________。
1、方程
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若X1(t),X2(t),?,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
'x?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是?(t)?(t)６、若和都是
_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）
3ydx?(x?y)dy?0 1、
２、x???x?sint
?cos2t
??1??21?A???(t),?(0)????????14??试求方程组x??Ax的解?2?并求expAt ３、若
dy3dy)?4xy?8y2?0dx４、dx
dy?x?y2５、求方程dx经过（0，0）的第三次近似解
(
dxdy??x?y?1,?x?y?5dt6.求dt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
试卷答案
一填空题
?M?N?M?N???y?x?y?x??(x)??(y)N?M１、 dy?p(x)y2?Q(x)y?R(x)y?y?z
２、 dx
dy?p(x)y?Q(x)yn?n?(n?1)p(x)dxu(x,y)?ye３、 dx
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４、w[x1(t),x2(t),?,xn(t)]?0
dnydn?1dyx?a???a?any?01n?1nn?1dxdxdx５、
?(t)??(t)C ６、
n７、零 稳定中心 二计算题
?M?N?1,??1?y?x１、解：因为
，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子
?(y)?e??ydy2?e?lny21dxx?y31?dy?0?222yy，两边同乘y得y
x?????x?y31y???dy?c?ydx???2?y??y????所以解为
xy2??c22x?y(y?c)另外y=0也是解 y2即
２、线性方程x???x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i
f1(t)?sint ??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方程
??2i不是特征根，原方程有特解
1A?3B=0 x?Acos2t?Bsin2t代入原方程
11x?c1cost?c2sint?tcost?cos2t23 所以原方程的解为
??2?1p(?)???2?6??9?0??3此时 k=1n1?2 1??4３、解：解得1,2A=-B=0
1it??1?3t?i???1?3t??1?t(??1??2)??????v?(t)?e??(A?3E)????e?????t(????)i!??212? ?2??i?0??2?
n?1it?te?(A??E)ii?0i!由公式expAt= 得
12f2(t)??cos2t??10???11??3t?1?tt?expAt?e?E?t(A?3E)??e???t???e????01?11?t1?t?????? ??3t3t2 / 66
?dy?2?8y??dx32x???p?8ydydyx??p4y4ypdx４、解：方程可化为令dx则有
32dp2y(p?4y)?p(8y2?p3)?4y2pdy（*）两边对y求导：
3（*）
(p3?4y2)(2y即
dpdp1p2?p)?02y?p?0y?()2p?cydydyc将由得即
y代入
?c22px??2??4c?c22p?y?(p)2x??24c即方程的 含参数形式的通解为：?c?（*）p为参数
143y?x3223p?4y?0p?(4y)27也是方程的解 又由得代入（*）得：
?0?y0?0x2?1?y0??xdx?02xx2x2x5?2?y0??(x?)dx??04220xx4x10x7x2x5x11x8?3?y0??(x???)dx????04400202204400160 ５、解：
?dx??x?y??dt???x?y?1?0?dy?x?y?x?y?5?0解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则??dt６、解：由?
x?1?11?1=1+1 ?0故有唯一零解（0，0） 因为
??1?1由
定焦点。
三、 证明题
由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：
1??2?2??1?1??2?2??2?0??1得???1?i故（3，-2）为稳
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x1(t0)?1,x2(t0)?0,??,xn(t0)?0''x1(t0)?0,x2(t0)?1,??,xn(t0)?0???????????????n?1n?1n?1x1(t0)?0,x2(t0)?0,?,xn(t0)?1
10?001?0w[x1(t0),x2(t0),?,xn(t0)]??1?0????考虑
00?1
x(t)(i?1,2,?n)是线性无关的。 从而i常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.f(x).?(y)分别为x.y的连
续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函
???????，可化为线性方程。数.n?0.1是常数。引入变量变换
3、 如果存在常数
L?0,使得不等_____________对于所有
（x,y1),(x,y2)?R都成立，L称为利普希兹常数。函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里a1,a2,是常数。
?(t)是x??A(t)x?f(t)的某一解，则它的任一5、 设?(t)是x??Ax的基解矩阵，解?(t)可表为_____________-。 二、计算题40%
dyy?6?xy2的通解。x1、 求方程dx
dyy??exy2、 求方程dxx的通解。
3、 求方程x''?6x'?5x?e的隐式解。
2tdy?x?y2通过点（0、0）的第三次近似解。4、 求方程dx
三、证明题30%
?0?t2t??2???2?'2t1????t?1.试验证=是方程组x=?ta?t?b上的基解矩阵。
'1??x1?2??x??t?x,x=?2?，在任何不包含原点的区间
2.设??t?为方程x=Ax（A为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?（0）=E），证明:
??t???1(t0)=?(t- t0)其中t0为某一值.
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《常微分方程》期终试卷答卷
一、填空题（每空5分）
dydy?f(x)?(y)?P(x)y?Q(x)yn1?n1dx 2、dx z=y
3
f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2n
n?1dnyydyn?1dx?ax???ax?any?01n?1nn?1dxdxdx4、
5、?(t)??(t)??(t)
二、计算题（每题10分）
dzdy??y?2dx 1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=y,算得dxdz6cx2??z?x?6x8 代入原方程得到dx，这是线性方程，求得它的通解为z=x1cx2x6x8??c?6yy88或者带回原来的变量y，得到=x，这就是原方程的解。
?1此外方程还有解y=0. 2、
dyxexy?yxy?e?xy?x解：dx
xdy?(xexy?y)dx
xdy?ydx?xexydx dxy?xexydx dxy?xdxxye
1?e?xy?x2?c2积分： 12x?e?xy?c?0故通解为：2
3、
2解：齐线性方程x''?6x'?5x?0的特征方程为??6??5?0，
?1??1,?2??5，故通解为x(t)?c1e?t?c2e?5t
??2不是特征根，所以方程有形如x(t)?Ae
2t2t2t2t把x(t)代回原方程 4Ae?12Ae?5Ae?e
1A?21
1x(t)?c1e?t?c2e?5t?e2t21 于是原方程通解为
4、
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