dX?2X?7Ydt则 dY?X?2Y dt
2?7A??01?2而，
p(?)??E?A?令
??2?17??2?3?0??2，得???3i
?1,?2为虚根，且??0，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。
常微分期中测试卷(2)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
2. 1. 3. 2. 4. 3. 5. 4.
xy=
'x2?y2+y
tgydx-ctydy=0
{y-x(x+y)}dx-xdy=0
22 2xylnydx+{x+y221?y2}dy=0
dyy2ydxx5. =6-x
y?22)'yx?y?16. =2
(
7. 已知f(x)?
8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）
的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为
x0f(t)dt=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。
k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
二． 证明题(10%*2=20%)
1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。
12． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN?0,则(xM?yN)是该方程的一个积分因子。
试题答案：
26 / 66
1．
解：将方程改写为 y=
'y1?x2yy''yxx+ （*） 令u=,得到x=xu+ u,则(*)变
du1?uu为x dx=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为
yarcsinx=lnCx。
2．
cosx解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ?ln+C或
?sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k?(k=0、1…) ，x=t?+2(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。
3． ydx-xdy-x(
x+y22)dx=0,两边同除以
x+y22得
xx1122x?y?xdx=0,即d(arctgy)?2dx=0,故原方程的解为arctgy?2x=C。
?M?N??M?N2xlny1?y?x?M4． 解：?y=2xlny+2x , ?y=2x,则 =?2xylny=?y,故方 111??dy??y?=ey=y，原方程两边同乘以y得
程有积分因子
22ydx?xdy2xylnyx?ydx+
程的解为x5．
22y21?y2dy=0是恰当方程. d(x221?ylny)+ydy=0,两边积分得方
y1lny+3?1?y?232=C。
解：1）y=0是方程的特解。2）当y?0时，令z=
y2?1得
6dzcx??dx=xz+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=x68
21cx?6yx8；y=0. 代回原来的变量y得方程解为=
v??dv2??u?v?， 6． 解：令x=u+3, y=v?2, 可将原方程变为du=?z?1?z?z???vdz2?dz?uu?1?z?， 1?z??uu再令z=，得到z+=，即u=
222227 / 66
?12?????dz??du?z1?2?z?=u+lnC 分离变量并两端积分得?z?lnu即lnln
+2arctgz=
+lnC，
zu?=2arctgz+lnC
?2arctgvu代回原变量得v=Ce
?2arctgy?2x?3所以，原方程的解为y+2=C
e.
9．
1即y?y1xf(t)dt解：令f(x)=y，f(x)=?0，两边求导得
11'?3dy2=y，即
?y??1'=y，
y=dx，两边求积得
y=2x+C，
11?2x?C，故f(x)= 2x?C. 从而y=
dvtv10． 解：因为F=ma=mdt，又F=F1?F2=k1?k2，
dvdvt?vtv即mdt=k1?k2(v(0)=0)，即dt=k1k2(v(0)=0)，
?kmkktm解得v=k2e+k12212?m(t
k2).
11． 2）令y=
?y解：1）先找到一个特解y=。
?y+z，化为n=2的伯努利方程。
?y证明：因为y=为方程的解，
d?y2??yydx所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)
?y令y=+z，则有
d?ydz2??z)+Q(x)(y??z)+R(x) (2) dx+dx= P(x)(ydz2?(2yz?z)+Q(x)z
(2)?(1)得dx= P(x)dz?2ydxz即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)
此为n=2的伯努利方程。
12． 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为
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x
Mx+y
My=nM，x
Nx+y
Ny=nN，故有
?M?N??yxM?yN?xxM?yN=
My(xM?yN)?M(xMy?N?yNy)?=
(xM?yN)2M(xNx?yN)?N(xMx?yNy)?Nx(xM?yN)?N(xMx?M?yNx)(xM?yN)2
(xM?yN)2
M(nN)?N(nM)2(xM?yN)==0. ?故命题成立。
常微分方程期终试卷(9)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
dy?ysinx?ex1．方程dx的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程y???4y?0的基本解组是 ．
3．向量函数组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的________________条件是在
区间I上它们的朗斯基行列式W(x)?0．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们
的朗斯基行列式W(x)?0，x?I．
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
dy?3y?e2x7. dx
3223(x?xy)dx?(xy?y)dy?0 8.
y?e?y??x?0 9．
10．求方程y???5y??sin5x的通解． 11．求下列方程组的通解．
?dx?x?y??dt??dy?4x?y? ?dt
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．
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13．设?(x)在区间(??,??)上连续．试证明方程
dy? dx?(x)siny
的所有解的存在区间必为(??,??)．
《常微分方程》期末试卷参考答案
一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．(??,??)
2．sin2x,cos2x 3．必要 4．充分 5．n 6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解 齐次方程的通解为
y?Ce?3x 令非齐次方程的特解为 y?C(x)e?3x
C(x)?15x代入原方程，确定出
5e?C
原方程的通解为
1 y?Ce?3xe2x+5 ?M?2xy??N8．解 由于?y?x，所以原方程是全微分方程． 取
(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为
?x320(x?xy)dx??y0y3dy?C1 x4?2x2y2?y4?C 。
9．解 令y??t，则原方程的参数形式为
??x?t?et ?y??t
由基本关系式
dy?y?dx?t(1?et)dt 积分有
y?1
2t2?et(t?1)?C
得原方程参数形式通解
?x?t?et?? ??y?12t2?et(t?1)?C 。
10．解 方程的特征根为?1?0，?2?5
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即