三．证明题 （10分） 16．证明：由定理8可知
?(t)??(t)??1(t0)???(t)???1(s)f(s)dst0t
?1?1?(t)?expAt,?(t)?(expAt)?exp(?At0) 00 又因为
f(s)?0 所以
?(t)?expAt?exp(?At0)?
又因为矩阵
0 所以
常微分方程期终考试试卷(6)
三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。
2、________________称为齐次方程。
?(t)??expA(t?t)??(At)?(?At0)?(?At0)?(At)
dydx3、求
=f(x,y)满足
?(x0)?y0的解等价于求积分方程____________________的连续解。
dy?f(x,y)dx4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解
y=
?(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数在它的存在范围内是__________。
x(t),x(t),...x(t)/235、若1为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是
__________________________________________。
6、方程组x?A(t)x的_________________称之为x?A(t)x的一个基本解组。
/7、若?(t)是常系数线性方程组x?Ax的基解矩阵，则expAt =____________。
/**x,y8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。
dyx?y?12x?y?3 dx1、求解方程：=
2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
dy31?3ydx23、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，
0）的一切解 4、求解常系数线性方程：
x//?2x/?3x?e?tcost
?12?eAt,其中A为??43??/x?Ax?? 5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算dxdy?ax?by,?cydt6、试讨论方程组dt （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且
ac?0。
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三、证明题（共一题，满分10分）。
?(t0)??的解，那么 试证：如果?（t）是x?Ax满足初始条件
/A(t?t0)?(t)?e?
??
常微分方程期末考试答案卷
一、 一、 填空题。（30分）
?M(x,y)?N(x,y)??y?x 1、
dyy?f()x 2、dxf(x,y)dx?yx003、y=+
4、连续的
25、w16、n个线性无关解 ?1?(t)?(0) 7、
x?x(t),x(t,),...,xn(t)??0
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心 二、计算题。（60分）
2y1、解： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0 2y xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0
113dy2 即2dx-d(xy)+dx-3-3dy=0
121x?xy?x?y3?3y?C3 所以2
dy2(x?y)?1??(x?y)?2，令z=x+y 2、解：dxdzdy?1?dx 则dxdz2z?1z?1?z?2?1??,dz?dxdxz?2?z?2z?1
3所以 –z+3ln|z+1|=x+C1， ln|z?1|=x+z+C1
32x?y(x?y?1)?Ce即
?f1?331?y(y?0)3y3、解： 设f(x,y)= 2,则?y2
?f 故在y?0的任何区域上?y存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
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2
显然，y?0是通过点（0，0）的一个解；
dy313?32 又由dx2y解得，|y|=(x?c)
所以，通过点（0，0）的一切解为y?0及
0??3??(x?c)2|y|=?2??2??3?0,4、解： (1)
(x?c)(x?c),c?0是常数
?1,2?1?2it
齐次方程的通解为x=e(c1cos2t?c2sin2t)
(2)???1?i不是特征根，故取x?(Acost?Bsint)e
54代入方程比较系数得A=41，B=-41
54x?(cost?sint)e?t4141于是
1(5cost?4sint)e?tt 通解为x=e(c1cos2t?c2sin2t)+41
?t??15、解： det(?E?A)=?4 所以，?1??1,?2??2?4??5?0??3
?2?5
设?1??1对应的特征向量为v1
??2?2??1??可得v1?????4?4??v1?0??1?????? 由
?1??1???v1??同理取v?2??1??2?????? 取
?t?(t)ev1 所以，=
??0
??e?t??t5tev2????e?e5t??5t?2e?
?1?e?te5t??11?At?1???e??(t)?(0)?????e?t2e5t??????12?e5t??2?1?1?e?t???????t5t???113??e2e???1?e5t?2e?t??5t?t3??2e?2ee5t?e?t??5t?t?2e?e?
6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
ab?ac?00c ，故奇点为原点（0，0）
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a??b??2?(a?c)??ac?0c?? 又由det(A-?E)=0得
?2?c ?1?a 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
???a?0,c?0,稳定结点?a?c?ac?0奇点为结点??a?0,c?0,不稳定结点????ac?0奇点为鞍点（不稳定）????b?0,奇点为退化结点?a?0,c?0，稳定结点?a?c??b?0,奇点为奇结点??a?0,c?0,不稳定结点 ?a，c为实数?
三、证明题。 （10分）
证明： 设?(t)的形式为?(t)=eC （1） （C为待定的常向量）
At则由初始条件得
???(t0)=eAtC
0At0?1(e)=e?At 又
At0?1(e)?=e?At? 所以，C=
A(t?t0)At?At0ee??e? ?(t) 代入（1）得=
00 即命题得证。
常微分方程期终试卷(7) 一、选择题
1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分
dy??1?y2(,1)3. 方程dx过点2共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
dy?4．方程dxy?x?x（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
dy?ydx5．方程的奇解是（ ）．
（A）y?x （B）y?1 （C）y??1 （D）y?0
二、计算题 1.xy=+y 2.tgydx-ctydy=0 3. (x?2y)dx?xdy?0
'x2?y219 / 66
dyy??1dxx4. ydx?(y3?lnx)dy?05.x
三、求下列方程的通解或通积分
dy?x(1?y2)1.dx
dyyy??()2xx 2. dxdy?3y?e2x3. dx y四．证明
1.设y1(x)，y2(x)是方程
y???p(x)y??q(x)y?0
的解，且满足
y1(x0)=y2(x0)=0，y1(x)?0，这里p(x),q(x)在(??,??)上连续，
x0?(??,??)．试证明：存在常数C使得y2(x)=Cy1(x)．
2．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，已知p(x)，q(x)在(??,??)上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切． 试卷答案 一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D
二、计算题
1．
解：将方程改写为y=
'y1?x2yy''yxx+（*） 令u=,得到 =xu+u,则(*)变为
du1?uuxdx=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为
yarcsinx=lnCx。
2．
解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k?(k=0、1…) ，
cosx?x=t?+2(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。
3. 方程化为
dyy?1?2x dxdydu?u?xdx，代入上式，得 令y?xu，则dxdux?1?udx
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