解
?0(x)?0
x2三、证明题（每题15分）
x2?1(x)??[x??0(x)]dx?2 0
xx2x52?2(x)??[x??1(x)]dx??220 0xx2x5x8x112?3(x)??[x??2(x)]dx????2201604400 01?2??t??1(t)故?1(t)
?0?t2?2t??2??????2t?'????22????t?1、证明：令的第一列为1(t)=??,这时1(t)=??=?t1??0?1??22????????20????t?tt???2(t)是一个解。同样如果以2(t)表示第二列，我们有2(t)=??= 2这样?2(t)也是一个解。因此??t?是解矩阵。又因为det??t?=-t故??t?是基解矩阵。
2、证明：（1）??t?,?(t- t0)是基解矩阵。
（2）由于??t?为方程x=Ax的解矩阵，所以??t??(t0)也是x=Ax的解矩阵，
'?1'而当t= t0时，?(t0)?(t0)=E, ?(t- t0)=?（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得??t??(t0)=?(t- t0)
常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
?1?11. 1.
2xylnydx+{x+y221?y2}dy=0
dyy2ydxx2. =6-x y?22()'3. y=2x?y?1
4. xy=+y
5. 5. tgydx-ctydy=0
6. 6. {y-x(x+y)}dx-xdy=0
2'x2?y227．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）
的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为
k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
8. 已知f(x)0
二． 证明题(10%*2=20%)
?xf(t)dt=1,x?0,试求函数f(x)的一般表达式。
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19. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN?0,则(xM?yN)是该方程的一个积分因子。
10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。
试题答案：
?M?N??M?N2xlny1?y?x?M1. 解：?y=2xlny+2x , ?y=2x,则 =?2xylny=?y,故方 111??dy??y?=ey=y，原方程两边同乘以y得
程有积分因子2xylnyxydx+
程的解为x22?y21?y2dy=0是恰当方程. d(x221?ylny)+ydy=0,两边积分得方
y1lny+3?1?y2?32=C。
2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y?0时，令z=
y?1得
26dzcx??dx=xz+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=x68
1cx2?6y8；y=0. 代回原来的变量y得方程解为=x
dv2?u?v3. 解：令x=u+3, y=v?2, 可将原方程变为du=?vdz2??u1?z?再令z=u，得到z+u=??12?????dz??du?z1?2?z?=u+lnC 分离变量并两端积分得?z?lnu即lnln
+2arctgz=
+lnC，
?z?2?v???，
z?1?z?dz?u?1?z?， ，即u=
222zu?=2arctgz+lnC 代回原变量得v=Ce?2arctgvu
所以，原方程的解为y+2=C
e?2arctgy?2x?3.
4. 解：将方程改写为 y=
'y1?x2yy''yxx+ （*） 令u=,得到x=xu+ u,则(*)变为x
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dudx=1?u, 变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC, 故方程的解为
yarcsinx=lnCx。
5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ?ln
cosx+C或sinycosx=C (*)
?另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k?(k=0、1…) ，x=t?+2(t=0、1…)也是方程的解。
tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。
6. 解：ydx-xdy-x(
x+y22)dx=0,两边同除以
x+y22得
ydx?xdyx?y22xx112?xdx=0,即d(arctgy)?2dx=0,故原方程的解为arctgy?2x2=C。
dvtv7． 解：因为F=ma=mdt，又F=F1?F2=k1?k2，
dvdvt?vtv即mdt=k1?k2(v(0)=0)，即dt=k1k2(v(0)=0)，
kmkktm解得v=k2e+k12212?m(t
k2).
8．
1即y?y1xf(t)dt解：令f(x)=y，f(x)=?0，两边求导得
11'?3dy2=y，即
?y??1'=y，
y=dx，两边求积得
y=2x+C，
?从而y=
9. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为 x
11?2x?C，故f(x)= 2x?C. Mx+y
My=nM，x
Nx+y
Ny=nN，故有
?M?N??yxM?yN?xxM?yN=
My(xM?yN)?M(xMy?N?yNy)?=
(xM?yN)2M(xNx?yN)?N(xMx?yNy)?Nx(xM?yN)?N(xMx?M?yNx)(xM?yN)2
(xM?yN)2
M(nN)?N(nM)2(xM?yN)==0. ?8 / 66
故命题成立。
?y10. 解：1）先找到一个特解y=。
?y2）令y=
+z，化为n=2的伯努利方程。
?y证明：因为y=为方程的解，
d?y2??yydx所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1)
?y令y=+z，则有
d?ydz2??z)+Q(x)(y??z)+R(x) (2) dx+dx= P(x)(ydz2?(2yz?z)+Q(x)z
(2)?(1)得dx= P(x)dz?2ydxz即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)
此为n=2的伯努利方程。
常微分方程期终试卷（4）
一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（ ）时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果（ ）。
k?1４、对毕卡逼近序列，k。
５、解线性方程的常用方法有（ ）。
?(x)??(x)?()６、若i为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。 ７、方程组x??A(t)x（ ）。
８、若?(t)和?(t)都是x??A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。
１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。
X(t)(i?1,2,?,n)x(t0)??的解１１、若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)满足（ ）。
二、计算题
求下列方程的通解。
dy?4e?ysinx?1１、dx。
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dy??y2?1?()2??1dx?２、?。 dy?x?y2３、求方程dx通过(0,0)的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。 ４、x???x??x?0。
５、x????x?e。
试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、
三、证明题。
tdxdy??x?y?!,?x?y?5dtdt。
１、１、设?(t)为方程x??Ax（Ａ为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?(0)?E)，
?1?(t0)??(t?t0)其中t0为某一值。 ?(t)证明
答案：
一、填空题
1dyu??f(x)g(x)g(y) dx１、形如的方程
?M?N??y?x ２、
３、存在常数Ｌ>0，对于所有
(x1,y1),(x2,y2)?R都有使得不等式
f(x1,y1)?f(x2,y2)?Ly1?y2成立
MLk?1kh４、k!
５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法
６、
x(t)??cixi(t)i?1n，其中
c1,c2,?,cn是任意常数
７、n个线性无关的解
x1(t),x2(t),?xn(t)称之为x??A(t)x的一个基本解组
８、?(t)＝?(t)c(a?t?b)c为非奇异常数矩阵 ９、等于零 稳定中心 １０、两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正实数 不稳
定鞍点或不稳定结点 １１、
二、计算题
??(t)??1(t0)???(t)???1(s)f(s)dst0t
dey??ey?4sinx?1１、解：方程可化为dx
dz??z?4sinxyz?edx 令，得
由一阶线性方程的求解公式，得
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