(?1)dx(?1)dx???z?e(?4sinxe)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?ex?c?2(sinx?cosx)?ce?x所以原方程为：e＝2(sinx?cosx)?cey?x
有
２、解：设
dy?p?sintdx2，则
y?stec，
从而
x??t?sgtet?dc?t?sstin1te?dct?t?gct，故方程的解为
(x?c)2?1?y2，另外y??1也是方程的解
?(x)?0
３、解：0
?1(x)??xdx?0x12x2
14115x)dx?x2?x04220 x?x?12152?111017??3(x)???x?(x?x)?dx???x?x4?x?x?dx00220440020????
115118?x2?x?x11?x2204400160
3311????i,????i12222????1?022４、解：对应的特征方程为：，解得
?2(x)??(x?x 所以方程的通解为：
x?e1?t2(c1cos33t?c2sint)22
3５、解：齐线性方程x????x?0的特征方程为??1?0，解得
?1?1,?2,3??1?3i2，
故齐线性方程的基本解组为：
et,e?123?23cosi,esini22，因为??1是特征根，
11tttt所以原方程有形如x(t)?tAe，代入原方程得，3Ae?Ate?Ate?e，所以
t?331t112?A?cosi?cesini?tet33，所以原方程的通解为x?c1e?c2e2223
??x?y?!?0?x?3?X?x?3???x?y?5?0y??23,?2)６、解： ?解得? 所以奇点为（ 经变换，?Y?y?3
?dx?dt??X?Y?dy?1?1?0,??X?Y1?1 方程组化为?dt 因为又
??1?11?(??1)2?1?0??1 所以?1??1?i,?2??1?i，故奇点为稳定
焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
三、证明题
11 / 66
?1?(t0)为一非奇异常数矩阵，所以 ?(t)?x?Ax１、证明：为方程的基解矩阵
?1?(t)?(t0)也是方程x??Ax的基解矩阵，且?(t?t0)也是方程x??Ax 的基解矩阵，?1?(t0)?E，?(t0?t0)??(0)?E ?(t)且都满足初始条件
?1?(t0)??(t?t0) ?(t)所以
常微分方程期终考试试卷（5）
一． 填空题 （30分）
dy?P(x)y?Q(x)??P(x)dxdx1．称为一阶线性方程，它有积分因子 e ，其通解为
_________ 。
2．函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _______ 。
3． 若?(x)为毕卡逼近序列
??n(x)?的极限，则有?(x)??n(x)?______ 。
dy?x2?y24．方程dx定义在矩形域R:?2?x?2,?2?y?2上，则经过点（0，0）的解
的存在区间是 _______ 。
5．函数组e,e,e的伏朗斯基行列式为 _______ 。
t?t2t?x(t)(i?1,2,?,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方程的一个特解，6．若i则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
''?(t)?(t)x?A(t)xx7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是?A(t)x?f(t)的满
足初始条件
?(t0)?0的解；向量函数?(t)= _____
'?(t0)??的解。 x 是?A(t)x?f(t)的满足初始条件
v,v,?,vn，它们对应的特征值分别为
8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量12?1,?2,??n，那么矩阵?(t)= ______ 是常系数线性方程组x'?Ax的一个基解矩阵。
**(x,y)，称为驻定方程组。 9．满足 _______ 的点
二． 计算题 （60分）
2234xydx?2(xy?1)dy?0的通解。 10．求方程
dydy?edx?x?011．求方程dx的通解。
?dy??x2?y2?dx?y(?1)?0R:x?1?1,y?112．求初值问题? 的解的存在区间，并求第二次近似解，
给出在解的存在区间的误差估计。
''13．求方程x?9x?tsin3t的通解。
'x14．试求方程组?Ax?f(t)的解?(t).
12 / 66
?et???1??12??(0)???,A??,f(t)?????1??43??1?
dxdy?2x?7y?19,?x?2y?5dtdt15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定
性。
三．证明题 （10分）
'0 16．如果?(t)是x?Ax满足初始条件
常微分方程期终考试试卷答案 一．填空题 （30分）
?(t)??的解，那么?(t)??expA(t?t0)??
1．
y?e?P(x)dx?P(x)dx(?Q(x)e?dx?c)
f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2 2．f(x,y)在R上连续，存在L?0，使，对于任意
(x,y1),(x,y2)?R
MLnn?1h 3．(n?1)! 11?x?4 4．4ete?te2t?et 5．
?e?te?tn2e2t4e2t
?et 6．
x(t)??cixi(t)?x(t)i?1
?(t)?? 7．
t?1?e 8．
t0(s)f(s)ds
?(t)?(t0)???(t)???1(s)f(s)dst0?1tv1,e?2tv2,?,e?ntvn
9．X(x,y)?0,Y(x,y)?0
?1t?
二．计算题 （60分）
?M?N?8x2y,?6x2y?x 10．解：?y
?M?N?1?y?x11??dy????M2y 积分因子?(y)?e2y?y2
两边同乘以?(y)后方程变为恰当方程：4xydx?2y23223?12(x3y?1)dy?0
4?uu?x3y2??(y)?M?4x2y33 ?x 两边积分得：
13 / 66
??u32'32?2xy??(y)?N?2xy?2y2 ?y
111 得：?(y)??4y
因此方程的通解为：y(xy?3)?c
12312dy?y'?ppp?e?x?0 dx 11．解：令 则px?p?e 得：
那么
y??pdx??p(1?ep)dp
p2??pep?ep?c2
?x?p?ep??p2?(p?1)ep?c?y?2 因此方程的通解为：?
12．解：
M?maxf(x,y)?4(x,y)?R
x?x0?1?a,y?y0?1?bh?min(a,，
b1)?M4
解的存在区间为
x?x0?x?1?h?14
53?x??4 即4?(x)?y0?0
令0?x31?1(x)?0??xdx???133
x?x312?x3x7x4x112?2(x)?0???x?(?)?dx??????133?36318942 ?
x2?f??2y?2?L 又?y
MLnn?11?2(x)??(x)?h?(n?1)!24 误差估计为：
2??9?0??1?3i,?2??3i 13．解：
? ??3i是方程的特征值， 设x(t)?t(At?B)e\23it3it
得：x?(2A?9Bt?12Ait?6Bi?9At)e 则2A?12Ait?6Bi?t
14 / 66
得：
A??11i,B?1236
因此方程的通解为：
x(t)?c1cos3t?c2sin3t?121tcos3t?tsin3t1236
det(?E?A)? 14．解：
??1?4?2?(??1)(??5)?0??3
?1??1,?2?5
????1?v1???v1??????? 取??1? (?1E?A)v1?0 得
????1?v2???v2???2?(?E?A)v?0?? 取?2? 2 2 得
?e?t?(t)??t??e 则基解矩阵
?e?t?(t)?(0)????t??e
?1e5t??2e5t?
0???1???e?t?1??????t?12?????e? 12??et??451t1??e??25?
tt0e5t??1?15t?2e???2?35tt?20e?1?(t)??(s)f(s)ds??t03?e5t?10
因此方程的通解为：
?(t)??(t)??1(0)???(t)???1(s)f(s)ds
2??35t1t?te?e?e??45???2035t1t1??t?e?e?e??25? ?10
?2x?7y?19?0?x?1???x?2y?5?0?y?3 15．解：? （1，3）是奇点
195,Y?y?22 令
dXdY?2X?7y,?x?2Ydt dt
??27??272?72?73??2?03?0??0?1??21?20???22 ，那么由
X?x? 可得：?1?3i,?2??3i
因此（1，3）是稳定中心
15 / 66