7．
?(t)??(t)c,detc?0 8。?(t)??(t)?(t0)?
?dx?X(x,y)??dt??dy?Y(x,y)?dt9．?中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心
二．计算题
?M?N?1,??1?y?x1． 1． 解：因为
，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子
?lny22??ydy?(y)?e?e1dxx?y31?dy?0?222yy，两边同乘y得y
x?????x?y31y???dy?c?ydx???2?y??y????所以解为
xy2??c22x?y(y?c)另外y=0也是解 y2即
?dy?2?8y??dx32x???p?8ydydyx??p4y4ypdx2． 2． 解：方程可化为令dx则有
32dp2y(p?4y)?p(8y2?p3)?4y2pdy（*）两边对y求导：
3（*）
(p3?4y2)(2y即
dpdp1p2?p)?02y?p?0y?()2p?cydydyc将由得即
y代入
?c22px??2??4c?c22p?y?(p)2x??24c即方程的 含参数形式的通解为：?c?（*）p为参数
143y?x3223p?4y?0p?(4y)27也是方程的解 又由得代入（*）得：
36 / 66
?0?y0?0x2?1?y0??xdx?02xx2x2x5?2?y0??(x?)dx??04220xx4x10x7x2x5x11x8?3?y0??(x???)dx????04400202204400160 3．解：
x2??x?x?0??1?0故特征根???i 4． 线性方程的特征方程
f1(t)?sint ??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方程
??2i不是特征根，原方程有特解
1A?3B=0 x?Acos2t?Bsin2t代入原方程
11x?c1cost?c2sint?tcost?cos2t23 所以原方程的解为
??2?1p(?)???2?6??9?0??3此时 k=1n1?2 1??45． 解：解得1,2A=-B=0
1i?t??1?3ti???1?3t??1?t(??1??2)??????v?(t)?e??(A?3E)????e?????t(????)i!??2??212? ?2??i?0?
n?1it?te?(A??E)ii?0i!由公式expAt= 得
12f2(t)??cos2t??10???11??3t?1?tt?expAt?e?E?t(A?3E)??e???t???e????01?11?t1?t?????? ???dx??x?y??dt???x?y?1?0?dy?x?y?x?y?5?0解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则??dt6． 解：由?
3t3t?1?11?1=1+1 ?0故有唯一零解（0，0） 因为
??1?1由
定焦点。 三．证明题
1??2?2??1?1??2?2??2?0??1得???1?i故（3，-2）为稳
37 / 66
证明：1 若该方程为线性方程则有
dy?p(x)y?Q(x)dx（*）此方程有积分因子
?p(x)dx?(x)只与x有关 ?(x)?e?
?(x)则 ?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0为恰当方
2 若该方程有只与x有关的积分因子
??(?(??x(f)?x(y?f,dx))????y?(x) ?ydx程,从而
??(x)???(x)f???dy?Q(x)?p(x)y?Q(x)p(x)??(x)?(x)于是方程化为 其中
dy?(p(x)y?Q(x))dx?0即方程为一阶线性方程.-
)x
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题（30%）
1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
dy?x2?y2 2．方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dy?f(x,y)fy(x,y) 3．连续是保证方程dx初值唯一的 条件．
?一条积分曲线.
dY?A(x)Ydx 4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于
个，其中x?R，Y?R．
5．二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件是 ．
ndy?sinx?cosy 6．方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dy?x2tany 7．方程dx的所有常数解是 ．
8．方程xsinydx?ycosxdy?0所有常数解是 ． 9．线性齐次微分方程组的解组
Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)为基本解组的 条
38 / 66
件是它们的朗斯基行列式W(x)?0．
10．n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
二、计算题（40%）
求下列方程的通解或通积分：
dyyy??tanxx 1. dxdycosy?cosxsin2y?siny 2．dx
3．(2xy?cosx)dx?(x?1)dy?0
2?dx?y??dt??dy?2x?y? 4．?dt ?dx?x?y??dt??dy??2x?3y? 5．?dt
三、证明题（30%）
1．试证明：对任意
x0及满足条件0?y0?1的y0，方程
dyy(y?1)?22 dx1?x?y
的满足条件
y(x0)?y0的解y?y(x)在(??,??)上存在．
dy?y?f(x)limf(x)?0f(x)[0,??)x??? 2．设在上连续，且，求证：方程dx的任意
limy(x)?0y?y(x)x解均有???．
dy?x2f(y)(y?0)．3．设方程dx中，f(y)在(??,??)上连续可微，且yf(y)?0，求
证：该方程的任一满足初值条件
39 / 66
y(x0)?y0的解y(x)必在区间[x0,??)上存在．
参考答案
一、填空题
1．C1[y1(x)?y2(x)]?y1(x) 2．xoy平面 3．充分 4．n 5．线性无关 6．xoy平面 7．y?k?，k?0,?1,?2,? 8．y?k?,k?0,?1,?2,?； 或
x?9．充分必要 10．n
二、计算题
??k?,k?0,?1,?2,?2
1．解：令
u?xyx，则y??u?xu?
du?tanudx
当tanu?0时
dudx??C1??tanux等号两边积分
lnsinu?lnx?lnCsiny?Cxx
C?0
dzdy?cosydx 2．解：令z?siny，则dxdz?z2cosx?z代入方程得 dx dz?z?z2cosx即 dx du?u??cosx?1再令u?z，则得 dx
u?e??1dx(??cosxe?dx?C1)1dx
?e?x(??cosxexdx?C1)
1??(cosx?sinx)?C1e?x2 2?cosx?sinx?Ce?x所以 sinx
40 / 66